測度論・実解析の問題

1. パラメータを入れた関数を考える。 $t\ge 0$ に対し
$$F(t)={\int }_0^1\frac{x^t-1}{\log x}dx$$
とおく。求める値は $I=F(2)$ で、$F(0)={\int }_0^{1}0dx=0$ である。

$F(t)$ が有限であることを確かめる。$0<x<1$ を固定し $\phi (s)=x^s=e^{s\log x}$ とすると、平均値の定理から $x^t-1=\phi (t)-\phi (0)=t{x}^s\log x$（$0<s<t$）となる $s$ があり、$0<x^s\le 1$ なので
$$\left|\frac{x^t-1}{\log x}\right|\le t.$$
よって被積分関数は有界で、$F(t)$ は有限である。

2. $t$ で偏微分し、優関数を見つける。 $f(x,t)=\frac{x^t-1}{\log x}$ とおくと、$\frac{\partial }{\partial t}{x}^t=x^t\log x$ なので
$$\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)=\frac{x^t\log x}{\log x}=x^t.$$
$0<x<1$, $t\ge 0$ では $0<x^t\le 1$ なので
$$\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\right|\le g(x)=1$$
で、$g$ は $(0,1)$ 上で可積分（${\int }_0^{1}1dx=1$）であり、$t$ によらない。

3. 積分記号下で微分する。 2 より（優収束定理にもとづく）積分記号下の微分の定理が使えて、$t>0$ で
$$F^{\prime }(t)={\int }_0^1\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx={\int }_0^1{x}^{t}dx={\left[\frac{x^{t+1}}{t+1}\right]}_0^1=\frac{1}{t+1}.$$
また同じ評価（1 の $|f(x,t)-f(x,t_0)|\le |t-t_0|$ と同様の議論）から $F$ は $[0,\infty )$ で連続である。

4. 微分方程式を解く。 $F^{\prime }(t)=\frac{1}{t+1}$, $F(0)=0$ より
$$F(t)=\log (t+1).$$
したがって $I=F(2)=\log 3$。

$F(s)={\int }_0^1\frac{x^s-1}{\log x}dx$ $(s\ge 0)$ とおく。$I=F(2)$。

$0<x<1$ で $\frac{x^s-1}{\log x}={\int }_0^s{x}^{t}dt$ （$\frac{d}{dt}{x}^t=x^t\log x$ より）。被積分関数 $x^t$ は $[0,1]\times [0,s]$ 上で非負・可測なのでトネリの定理により積分順序を交換できる:
$$F(s)={\int }_0^1{\int }_0^s{x}^{t}dtdx={\int }_0^s{\int }_0^1{x}^{t}dxdt={\int }_0^s\frac{dt}{t+1}=\log (1+s).$$

よって $I=F(2)=\log 3$。

検算: $\frac{x^2-1}{\log x}>0$ で、$x=t$ の積分として ${\int }_0^2\frac{dt}{1+t}=\log 3\approx 1.0986$。被積分関数は $x\to 1$ で $2$、$x\to 0$ で $0$ に近づく（$x=0.5$ で $\frac{-0.75}{-0.693}\approx 1.08$）ので、区間 $(0,1)$ での積分が約 $1.1$ となるのは妥当。