測度論・実解析の問題

方針. $\frac{\arctan x}{x}$ をパラメータ積分で表し、二重積分に直してから積分順序を交換する。

1. パラメータ表示. $0<x<1$ に対し
$${\int }_0^1\frac{dt}{1+t^2{x}^2}={\left[\frac{\arctan (tx)}{x}\right]}_{t=0}^{t=1}=\frac{\arctan x}{x}.$$
したがって
$$I={\int }_0^1\left({\int }_0^1\frac{dt}{(1+t^2{x}^2)\sqrt{1-x^2}}\right)dx.$$

2. 積分順序の交換（トネリの定理）. 被積分関数 $g(x,t)=\frac{1}{(1+t^2{x}^2)\sqrt{1-x^2}}$ は $(0,1{)}^2$ 上で連続（よって可測）かつ非負である。非負可測関数に対してはトネリの定理により、積分値が有限か無限かによらず積分順序を交換できるので
$$I={\int }_0^1\left({\int }_0^1\frac{dx}{(1+t^2{x}^2)\sqrt{1-x^2}}\right)dt.$$

3. 内側の積分. $a=t^2\ge 0$ とおく。$x=\sin \theta$ $(0<\theta <\frac{\pi }{2})$ と置換すると $dx=\cos \theta d\theta$、$\sqrt{1-x^2}=\cos \theta$ より
$${\int }_0^1\frac{dx}{(1+a{x}^2)\sqrt{1-x^2}}={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{1+a{\sin }^2\theta }.$$
さらに $u=\tan \theta$ とおくと ${\sin }^2\theta =\frac{u^2}{1+u^2}$、$d\theta =\frac{du}{1+u^2}$ であるから
$${\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{1+a{\sin }^2\theta }={\int }_0^{\infty }\frac{du}{1+u^2+a{u}^2}={\int }_0^{\infty }\frac{du}{1+(1+a)u^2}=\frac{1}{\sqrt{1+a}}\cdot \frac{\pi }{2}.$$
よって内側の積分は $\frac{\pi }{2\sqrt{1+t^2}}$。

4. 外側の積分.
$$I=\frac{\pi }{2}{\int }_0^1\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{\pi }{2}[\log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right){]}_0^1=\frac{\pi }{2}\log \left(1+\sqrt{2}\right).$$
これは有限なので、元の積分も有限（$\frac{\arctan x}{x\sqrt{1-x^2}}$ は可積分）であることも同時にわかる。

答え. $I=\frac{\pi }{2}\log \left(1+\sqrt{2}\right)$

パラメータ $a$ を導入して $F(a)={\int }_0^1\frac{\arctan (ax)}{x\sqrt{1-x^2}}dx$ とおく。求めるものは $I=F(1)$ で、$F(0)=0$ である。

被積分関数を $a$ で微分すると $\frac{1}{(1+a^2{x}^2)\sqrt{1-x^2}}$ となる。これは $a\in [0,1]$ で $x\in (0,1)$ 上可積分な関数で一様に押さえられる。したがって積分と微分の順序交換ができ、
$$F^{\prime }(a)={\int }_0^1\frac{dx}{(1+a^2{x}^2)\sqrt{1-x^2}}.$$

$x=\sin \theta$ と置換すると
$$F^{\prime }(a)={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\theta }{1+a^2{\sin }^2\theta }.$$
ここで $t=\tan \theta$ とおくと ${\sin }^2\theta =\frac{t^2}{1+t^2}$、$d\theta =\frac{dt}{1+t^2}$ なので
$$F^{\prime }(a)={\int }_0^{\infty }\frac{dt}{1+(1+a^2)t^2}=\frac{\pi }{2\sqrt{1+a^2}}.$$

これを $a$ について $0$ から $1$ まで積分する。
$$I=\frac{\pi }{2}{\int }_0^1\frac{da}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{\pi }{2}[\log (a+\sqrt{1+a^2}){]}_0^1=\frac{\pi }{2}\log (1+\sqrt{2}).$$

検算：数値では $\frac{\pi }{2}\log (1+\sqrt{2})\approx 1.5708\times 0.8814\approx 1.3846$ となる。被積分関数は $x\to 0$ で $1$、$x\to 1$ で $\frac{\pi /4}{\sqrt{1-x^2}}$ のように振る舞う。${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi }{2}\approx 1.57$ と比べて、この値は矛盾しない。