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測度論・実解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学測度論・実解析

$λ$ を $(0, \infty)$ 上のルベーグ測度とし、 $f \in L^{1} ((0, \infty), λ)$ （実数値）とする。 $x > 0$ に対して
$F (x) = \int_{0}^{\infty} \frac{f ( t )}{t} e^{- x / t} d t$
と定める。各 $x > 0$ でこの積分が存在し、 $F \in L^{1} ((0, \infty), λ)$ であって
$\int_{0}^{\infty} F (x) d x = \int_{0}^{\infty} f (t) d t$
が成り立つことを証明せよ。

なお、 $(0, \infty) \times (0, \infty)$ 上の（完備化した）積測度 $λ \otimes λ$ に対するフビニの定理・トネリの定理は用いてよい。

この問題で使うもの

フビニ・トネリの定理（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（57 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$F (x)$ を 2 変数関数 $G (x, t) = f (t) t^{- 1} e^{- x / t}$ の $t$ についての積分とみなし、積分の順序を交換する。交換する前に、 $∣ G ∣$ にトネリの定理を使って $G$ が積測度について可積分であることを確かめる。

ヒント 2

$t$ を固定して $x$ で先に積分すると $\int_{0}^{\infty} e^{- x / t} d x = t$ となり、分母の $t$ がちょうど打ち消される。また、各 $x$ で $F (x)$ が定まることは $t^{- 1} e^{- x / t} \leq 1/ (e x)$ からわかる。

ヒント 3

トネリの定理から $\iint ∣ G ∣ = \int_{0}^{\infty} ∣ f ∣ < \infty$ が得られる。 $∣ F (x) ∣ \leq \int_{0}^{\infty} ∣ G (x, t) ∣ d t$ を積分すれば $F \in L^{1}$ がわかり、あとはフビニの定理で積分の順序を交換する。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

各 $x > 0$ で $t^{- 1} e^{- x / t} \leq 1/ (e x)$ のような有界性を示し、 $F (x)$ の積分が存在することを確かめている（2 点）
$G (x, t) = f (t) t^{- 1} e^{- x / t}$ を導入し、積 $σ$ -加法族について可測であることと $F (x) = \int_{0}^{\infty} G (x, t) d t$ を述べている（2 点）
$∣ G ∣$ にトネリの定理を適用し、 $\int_{0}^{\infty} t^{- 1} e^{- x / t} d x = 1$ を計算して $\iint ∣ G ∣ = ∥ f ∥_{1} < \infty$ を示している（3 点）
$∣ F (x) ∣ \leq \int_{0}^{\infty} ∣ G (x, t) ∣ d t$ とトネリ・フビニの定理から $F$ の可測性と可積分性を導いている（1 点）
フビニの定理で積分順序を交換し、 $\int_{0}^{\infty} F = \int_{0}^{\infty} f$ を計算して結論を述べている（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

ステップ 0: $F (x)$ の存在. $x > 0$ を固定する。 $s > 0$ の関数 $ψ (s) = s e^{- x s}$ を考えると $ψ^{'} (s) = (1 - x s) e^{- x s}$ なので、 $ψ$ は $0 < s \leq 1/ x$ で増加、 $s \geq 1/ x$ で減少し、最大値は $ψ (1/ x) = \frac{1}{e x}$ である。 $s = 1/ t$ とおくと、すべての $t > 0$ で
$\frac{1}{t} e^{- x / t} = ψ (\frac{1}{t}) \leq \frac{1}{e x}$
である。よって $\frac{f ( t )}{t} e^{- x / t} \leq \frac{∣ f ( t ) ∣}{e x}$ であり、右辺は $f \in L^{1}$ より $(0, \infty)$ 上可積分である。被積分関数は可測関数 $f (t)$ と連続関数 $t^{- 1} e^{- x / t}$ の積なので可測であり、したがって可積分で、 $F (x)$ は実数として定まる。

ステップ 1: 2 変数関数と可測性. $Q = (0, \infty) \times (0, \infty)$ 上で
$G (x, t) = \frac{f ( t )}{t} e^{- x / t}$
とおく。 $t \mapsto f (t)$ はルベーグ可測であり、射影 $π_{2} (x, t) = t$ による可測集合 $A$ の逆像 $(0, \infty) \times A$ は可測長方形なので、 $(x, t) \mapsto f (t)$ は積 $σ$ -加法族について可測である。また $(x, t) \mapsto t^{- 1} e^{- x / t}$ は $Q$ 上連続なのでボレル可測である。よって $G$ はその積として $Q$ 上可測である。各 $x > 0$ に対し、ステップ 0 より
$\int_{0}^{\infty} G (x, t) d t = F (x) (1)$
である。

ステップ 2: 内側の積分の計算. $t > 0$ を固定すると
$\int_{0}^{\infty} e^{- x / t} d x = [- t e^{- x / t}]_{x = 0}^{x \to \infty} = t$
である（非負連続関数なので広義リーマン積分とルベーグ積分は一致する）。したがって
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{t} e^{- x / t} d x = 1 (2)$
である。

ステップ 3: $G$ の可積分性（トネリ）. $∣ G (x, t) ∣ = \frac{∣ f ( t ) ∣}{t} e^{- x / t}$ は $Q$ 上の非負可測関数である。 $λ$ は $σ$ -有限なのでトネリの定理が使え、先に $x$ で積分すると $(2)$ より
$\iint_{Q} ∣ G ∣ d (λ \otimes λ) = \int_{0}^{\infty} ∣ f (t) ∣ (\int_{0}^{\infty} \frac{1}{t} e^{- x / t} d x) d t = \int_{0}^{\infty} ∣ f (t) ∣ d t < \infty$
となる。よって $G \in L^{1} (Q, λ \otimes λ)$ である。

ステップ 4: $F$ の可測性と可積分性. フビニの定理（ $G$ は可積分）により、関数 $x \mapsto \int_{0}^{\infty} G (x, t) d t$ は（ほとんどいたるところで定義された）可測関数で、可積分である。 $(1)$ よりこの関数はすべての $x > 0$ で $F (x)$ に一致するので、 $F$ は可測である。さらに $∣ F (x) ∣ \leq \int_{0}^{\infty} ∣ G (x, t) ∣ d t$ であり、トネリの定理で先に $t$ で積分した累次積分も $\iint_{Q} ∣ G ∣$ に等しいので
$\int_{0}^{\infty} ∣ F (x) ∣ d x \leq \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} ∣ G (x, t) ∣ d t) d x = \iint_{Q} ∣ G ∣ d (λ \otimes λ) = \int_{0}^{\infty} ∣ f (t) ∣ d t < \infty$
である。よって $F \in L^{1} ((0, \infty), λ)$ である。

ステップ 5: 積分の値（フビニ）. $G$ は可積分なので、フビニの定理により 2 通りの累次積分はともに $\iint_{Q} G d (λ \otimes λ)$ に等しい。 $(1)$ と $(2)$ を用いると
$\int_{0}^{\infty} F (x) d x = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} G (x, t) d t) d x = \int_{0}^{\infty} f (t) (\int_{0}^{\infty} \frac{1}{t} e^{- x / t} d x) d t = \int_{0}^{\infty} f (t) d t$
となる。

以上より、 $F (x)$ は各 $x > 0$ で定まり、 $F \in L^{1} ((0, \infty), λ)$ であって $\int_{0}^{\infty} F (x) d x = \int_{0}^{\infty} f (t) d t$ が成り立つ。（途中で $∥ F ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{1}$ も示されている。）

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