測度論・実解析の問題

可測性と分割. 関数 $(x,y)\mapsto \lfloor x/y\rfloor +\lfloor y/x\rfloor$ は $(0,1{)}^2$ 上のボレル可測関数なので、$E$ はボレル集合である。対角線 $\{x=y\}$ は ${\lambda }_2$ 測度 $0$ である（そもそもそこでは和が $2$ なので $E$ に含まれない）。

$0<x<y<1$ のときは $0<x/y<1$ より $\lfloor x/y\rfloor =0$ である。したがって和は $\lfloor y/x\rfloor$ に等しく、これは $1$ 以上である。ゆえにこの領域では、$(x,y)\in E$ と $\lfloor y/x\rfloor \in \{3,6,9,\dots \}$ は同値である。

$y<x$ の領域も、変換 $(x,y)\mapsto (y,x)$ で $x<y$ の領域に移る。この変換は ${\lambda }_2$ を保ち、$E$ を $E$ に移すので、
$${\lambda }_2(E)=2\sum _{m=1}^{\infty }{\lambda }_2(A_{3m}),A_k=\{(x,y)\in (0,1{)}^2:x<y,\lfloor y/x\rfloor =k\}$$
となる。ここで $A_{3m}$ $(m\ge 1)$ は互いに素なので、可算加法性を使った。

${\lambda }_2(A_k)$ の計算（$k\ge 1$）. $\lfloor y/x\rfloor =k$ は $kx\le y<(k+1)x$、すなわち $\frac{y}{k+1}<x\le \frac{y}{k}$ と同値である。このとき $x\le y/k\le y<1$ も成り立つ（等号は測度 $0$ の集合でのみ起こる）。よって $y\in (0,1)$ を固定したときの $x$ 方向の切り口の長さは $y\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$ である。フビニ（トネリ）の定理より
$${\lambda }_2(A_k)={\int }_0^{1}y\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)dy=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).$$
したがって
$${\lambda }_2(E)=\sum _{m=1}^{\infty }\left(\frac{1}{3m}-\frac{1}{3m+1}\right).$$

級数の値. 各項は
$$\frac{1}{3m}-\frac{1}{3m+1}={\int }_0^1\left(t^{3m-1}-t^{3m}\right)dt$$
と書ける。被積分関数 $t^{3m-1}(1-t)$ は $[0,1]$ 上で非負なので、単調収束定理により和と積分を交換できる。
$${\lambda }_2(E)={\int }_0^1\sum _{m=1}^{\infty }{t}^{3m-1}(1-t)dt={\int }_0^1\frac{t^2(1-t)}{1-t^3}dt={\int }_0^1\frac{t^2}{t^2+t+1}dt.$$

被積分関数を
$$\frac{t^2}{t^2+t+1}=1-\frac{t+1}{t^2+t+1}=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{2t+1}{t^2+t+1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}$$
と分解する。各項を積分すると
$${\int }_0^1\frac{2t+1}{t^2+t+1}dt=\log 3,$$
$${\int }_0^1\frac{dt}{{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}=\frac{2}{\sqrt{3}}{\left[\arctan \frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right]}_0^1=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{3\sqrt{3}}.$$

よって
$${\lambda }_2(E)=1-\frac{\log 3}{2}-\frac{\pi }{6\sqrt{3}}=1-\frac{\log 3}{2}-\frac{\sqrt{3}\pi }{18}(\approx 0.148).$$

対称性 $(x,y)\leftrightarrow (y,x)$ により、$x<y$ の部分の面積を 2 倍すればよい（$x=y$ は測度 0）。

$x<y$ のとき $\lfloor x/y\rfloor =0$ なので、条件は $n=\lfloor y/x\rfloor$ が 3 の倍数であること（$n\ge 1$ なので $n=3k,k\ge 1$）。

$a<b$ に対し $\{(x,y):0<y<1,y/b<x\le y/a\}$ の面積は
$${\int }_0^{1}y\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)dy=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).$$
$n\le y/x<n+1$ では $a=n$, $b=n+1$ なので面積は $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。
（$n\ge 1$ で総和 $1/2$ となり、上三角部分の面積と一致する。）

よって
$${\lambda }_2(E)=2\sum _{k\ge 1}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3k}-\frac{1}{3k+1}\right)=\sum _{k\ge 1}\left(\frac{1}{3k}-\frac{1}{3k+1}\right)=\frac{1}{3}\sum _{k\ge 1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1/3}\right)=\frac{1}{3}\left(\psi (4/3)+\gamma \right).$$
$\psi (4/3)=\psi (1/3)+3$ で、$\psi (1/3)=-\gamma -\frac{\pi }{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\log 3$ なので
$${\lambda }_2(E)=1-\frac{\pi }{6\sqrt{3}}-\frac{1}{2}\log 3\approx \mathrm{0.1484.}$$

検算：級数の最初の 5 項の和は約 0.1288 で、残りの項の和は約 0.02 となり、約 0.148 と整合する。