測度の可算加法性と連続性

測度の可算加法性と、単調な集合列に対する連続性 $μ (⋃_{n} A_{n}) = lim_{n \to \infty} μ (A_{n})$ （増加列）、 $μ (⋂_{n} A_{n}) = lim_{n \to \infty} μ (A_{n})$ （減少列で $μ (A_{1}) < \infty$ ）を使って、集合の測度を求められる

前提

無限等比級数と無限級数（数学III 極限）

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算数中学高校大学大学院

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無限等比級数と無限級数（数学III 極限）

説明

測度とは、長さ・面積・確率などを一般化した「集合の大きさ」で、互いに交わらない集合を可算無限個（ $A_{1}, A_{2}, \dots$ と番号付けできる個数）集めても、大きさが足し算どおりにふるまう（可算加法性）ことが要です。この技能では、可算加法性を無限級数の和として使い、さらにそこから導かれる「単調な集合列の測度は極限で求まる」という連続性を使って、無限個の区間を合わせた集合や、区間を少しずつ削っていった集合の測度を計算します。積分論や確率論で、極限操作を集合の大きさと交換するときの基本です。

なぜそうしてよいのか

まず言葉を決めます。集合 $X$ の部分集合の族 $F$ が、 $\emptyset \in F$ 、 $A \in F$ なら補集合 $X ∖ A \in F$ 、 $A_{1}, A_{2}, \dots \in F$ なら $⋃_{n} A_{n} \in F$ をみたすとき（このとき差 $B ∖ A$ や可算個の共通部分も $F$ に入る）、 $F$ の元を可測集合と呼びます。関数 $μ : F \to [0, \infty]$ （値 $\infty$ も許す）が $μ (\emptyset) = 0$ と、どの 2 つも交わらない $A_{1}, A_{2}, \dots$ に対する
$μ (n = 1 ⋃ \infty A_{n}) = n = 1 \sum \infty μ (A_{n}) (右辺は部分和の極限。発散するときは \infty)$
（可算加法性）をみたすとき、 $μ$ を測度といいます。 $A_{k} = \emptyset$ （ $k > n$ ）とおけば有限個の交わらない和でも加法性が成り立ち、 $A \subset B$ なら $μ (B) = μ (A) + μ (B ∖ A) \geq μ (A)$ （単調性）です。実数直線上のルベーグ測度 $m$ は、区間（開・閉・半開を問わない） $[a, b]$ に長さ $b - a$ を与える測度で、1 点の測度は $m ({a}) = m ([a, a]) = 0$ です。

増加列 $A_{1} \subset A_{2} \subset \dots$ の連続性は、交わらない部分に切り分けて可算加法性を使うと出ます。 $B_{1} = A_{1}$ , $B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ）とおくと、 $B_{n}$ はどの 2 つも交わらず、 $A_{n} = B_{1} \cup \dots \cup B_{n}$ 、 $⋃_{n} A_{n} = ⋃_{n} B_{n}$ です。よって
$μ (n ⋃ A_{n}) = k = 1 \sum \infty μ (B_{k}) = n \to \infty lim k = 1 \sum n μ (B_{k}) = n \to \infty lim μ (A_{n}) .$
無限級数の和が部分和の極限であることが、そのまま「測度の極限」になっているわけです。

減少列 $A_{1} \supset A_{2} \supset \dots$ では、 $μ (A_{1}) < \infty$ を仮定して $C_{n} = A_{1} ∖ A_{n}$ という増加列を考えます。 $⋃_{n} C_{n} = A_{1} ∖ ⋂_{n} A_{n}$ で、 $μ (A_{1})$ が有限なので引き算ができ、 $μ (C_{n}) = μ (A_{1}) - μ (A_{n})$ 、 $μ (⋃_{n} C_{n}) = μ (A_{1}) - μ (⋂_{n} A_{n})$ です。増加列の結果に代入して $μ (A_{1})$ を消すと $μ (⋂_{n} A_{n}) = lim_{n} μ (A_{n})$ が得られます。 $\infty - \infty$ は意味をもたないので、この仮定は外せません（実際、外すと成り立たない例があります）。

手順

求めたい集合を、測度がわかる集合（区間など）の可算個の和集合や共通部分として書く。
和集合なら、各集合がどの 2 つも交わらないかを確かめる。交わるなら $B_{1} = A_{1}$ , $B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1}$ のように交わらない部分に切り分けるか、増加列に並べ直す。
交わらない和なら可算加法性 $μ (⋃_{n} A_{n}) = \sum_{n} μ (A_{n})$ を使い、無限級数の和（部分和の極限）を計算する。
増加列 $A_{1} \subset A_{2} \subset \dots$ なら $μ (⋃_{n} A_{n}) = lim_{n} μ (A_{n})$ を使う。
減少列 $A_{1} \supset A_{2} \supset \dots$ なら、まず $μ (A_{1}) < \infty$ （ある番号から先で有限でもよい）を確かめてから $μ (⋂_{n} A_{n}) = lim_{n} μ (A_{n})$ を使う。

例題

実数直線上のルベーグ測度を $m$ とする（区間の測度はその長さ）。
$A = n = 1 ⋃ \infty [n, n + (\frac{1}{3})^{n}]$
のとき、 $m (A)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $A$ は区間 $I_{n} = [n, n + (\frac{1}{3})^{n}]$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）の可算個の和集合で、 $m (I_{n}) = (\frac{1}{3})^{n}$ 。

手順 2: $(\frac{1}{3})^{n} < 1$ なので $I_{n} \subset [n, n + 1)$ であり、区間 $[n, n + 1)$ どうしは交わらないから、 $I_{n}$ はどの 2 つも交わらない。

手順 3: 可算加法性より
$m (A) = n = 1 \sum \infty m (I_{n}) = n = 1 \sum \infty (\frac{1}{3})^{n} .$
これは初項 $\frac{1}{3}$ 、公比 $\frac{1}{3}$ （ $\frac{1}{3} < 1$ ）の無限等比級数なので収束し、和は
$\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} .$
よって $m (A) = \frac{1}{2}$ 。

答え: $\frac{1}{2}$

よくある誤り

減少列なら $μ (A_{1}) = \infty$ でも連続性が使えるとしてしまう誤り。 $A_{n} = [n, \infty)$ は減少列で $m (A_{n}) = \infty$ だが、 $⋂_{n} A_{n} = \emptyset$ なので $m (⋂_{n} A_{n}) = 0 \neq = lim_{n} m (A_{n}) = \infty$ 。正しくは、ある $A_{N}$ の測度が有限であることを確かめてから使う。
交わる集合の測度をそのまま足してしまう誤り。 $A_{n} = [0, 1 - \frac{1}{2 ^{n}}]$ に対して $m (⋃_{n} A_{n}) = \sum_{n} (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) = \infty$ とするのは誤り。正しくは $A_{n}$ は増加列なので $m (⋃_{n} A_{n}) = m ([0, 1)) = lim_{n} (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) = 1$ 。
加法性を可算個でない（数えきれない）個数の和にも使ってしまう誤り。 $[0, 1] = ⋃_{x \in [0, 1]} {x}$ で各 $m ({x}) = 0$ だから $m ([0, 1]) = 0$ とするのは誤り。正しくは可算加法性は $A_{1}, A_{2}, \dots$ と番号付けできる集合列にしか使えず、 $m ([0, 1]) = 1$ 。
単調でない集合列でも $μ (⋃_{n} A_{n}) = lim_{n} μ (A_{n})$ としてしまう誤り。 $A_{n} = [n, n + 1]$ では $m (A_{n}) = 1$ で $lim_{n} m (A_{n}) = 1$ だが、 $⋃_{n} A_{n} = [1, \infty)$ で $m = \infty$ 。正しくは、増加列に直す（ $A_{1} \cup \dots \cup A_{n}$ を考える）か、交わらない部分に分けて可算加法性を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
区間 $[0, \infty)$ 上のルベーグ測度 $λ$ を考える。実数 $t$ に対し、 $t$ 以下の最大の整数を $⌊ t ⌋$ で表す。関数 $f : [0, \infty) \to R$ を
$f (x) = {e^{- ⌊ x ⌋} 1 (x が無理数のとき) (x が有理数のとき)$
で定める。ルベーグ積分 $\int_{[0, \infty)} f d λ$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ルベーグ外測度と零集合（大学院数学測度論・実解析）