測度論・実解析の問題

まず 1 点の測度を求める。$\{a\}={\bigcap }_n(a-\frac{1}{n},a]$ で、$\mu ((a-1,a])<\infty$ だから測度の連続性より
$$\mu (\{a\})=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(F(a)-F(a-\frac{1}{n})\right)=F(a)-F(a-0).$$
$F$ が不連続になるのは $x=1$ と $x=2$ だけで（$x=0$ では $F(0-0)=0=F(0)$ なので連続）、
$$\mu (\{1\})=F(1)-F(1-0)=3-1=2,\mu (\{2\})=F(2)-F(2-0)=8-5=3.$$
それ以外の点 $a$ では $\mu (\{a\})=0$。

$[\frac{1}{2},2)$ の測度. 同様に連続性を使うと $\mu ([a,b))=F(b-0)-F(a-0)$ なので
$$\mu \left(\left[\frac{1}{2},2\right)\right)=F(2-0)-F\left(\frac{1}{2}-0\right)=5-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}.$$
（内訳: $[\frac{1}{2},1)$ の部分が $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$、点 $1$ が $2$、$(1,2)$ の部分が $5-3=2$。）

$[2,3]\setminus \mathbb{Q}$ の測度. $\mu ([2,3])=F(3)-F(2-0)=8-5=3$ である。一方 $[2,3]\cap \mathbb{Q}$ は可算集合なので、可算加法性より
$$\mu ([2,3]\cap \mathbb{Q})=\sum _{q\in [2,3]\cap \mathbb{Q}}\mu (\{q\})=\mu (\{2\})=3$$
（$[2,3]$ の中で正の測度をもつ点は $2$ だけ）。よって
$$\mu ([2,3]\setminus \mathbb{Q})=3-3=0.$$

2 つの集合は交わらないので
$$\mu (E)=\frac{19}{4}+0=\frac{19}{4}.$$

$[2,3]\setminus \mathbb{Q}$ は 2 を含まず（2 は有理数）、$(2,3]$ の無理数の集合。$\mu ((2,3])=F(3)-F(2)=0$ なのでこの部分の測度は 0。よって $\mu (E)=\mu ([1/2,2))$。$\mu ([c,d))=F(d-)-F(c-)$ より、$F(2-)={\lim }_{x\to 2-}(2x+1)=5$、$F(1/2-)=F(1/2)=1/4$（$x=1/2$ で連続）。したがって $\mu (E)=5-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}$。検算: ${\int }_{1/2}^{1}2xdx=\frac{3}{4}$、$x=1$ の跳び $F(1)-F(1-)=3-1=2$（$1\in [1/2,2)$ なので含む）、${\int }_1^{2}2dx=2$。合計 $\frac{3}{4}+2+2=\frac{19}{4}$。