測度論・実解析の問題

集合 $E$ の分解. $x\in (0,1)$ のとき $1/x>1$ なので $k=\lfloor 1/x\rfloor$ は $1$ 以上の整数である。また
$$\lfloor \frac{1}{x}\rfloor =k⟺k\le \frac{1}{x}<k+1⟺\frac{1}{k+1}<x\le \frac{1}{k}$$
が成り立つ。よって
$$E=\underset{m=1}{\overset{\infty }{⨆}}\left(\frac{1}{2m+1},\frac{1}{2m}\right]$$
と互いに素な区間の可算和に書ける。区間はボレル集合なので、$E$ もボレル集合である。

ルベーグ測度の部分. $E\subset (0,1)$ なので $E\cap (0,1)=E$ である。ルベーグ測度の可算加法性より
$$\lambda (E)=\sum _{m=1}^{\infty }\left(\frac{1}{2m}-\frac{1}{2m+1}\right)$$
となる。各項は正なので、この級数は正項級数であり、部分和の極限として値が定まる。

交代級数 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots =\log 2$ を用いる。この級数は収束するので、その部分和の列の部分列である「奇数番目（$2M+1$ 項目）までの部分和」の列も同じ極限 $\log 2$ をもつ。いま
$$1-\sum _{m=1}^M\left(\frac{1}{2m}-\frac{1}{2m+1}\right)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots -\frac{1}{2M}+\frac{1}{2M+1}=\sum _{k=1}^{2M+1}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$$
であるから、$M\to \infty$ とすると右辺は $\log 2$ に収束する。したがって
$$\lambda (E)=1-\log 2$$
を得る。

ディラック測度の部分. 点 $1/n$ が $E$ に属するかを調べる。$n=1$ のとき $1\notin (0,1)$ なので属さない。$n\ge 2$ のときは $1/n\in (0,1)$ かつ $\lfloor 1/(1/n)\rfloor =n$ なので、$1/n\in E⟺n$ が偶数である。よって
$$\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{-n}{\delta }_{1/n}(E)=\sum _{j=1}^{\infty }{2}^{-2j}=\frac{1/4}{1-1/4}=\frac{1}{3}$$
となる。

結論. 二つの部分を合わせて
$$\mu (E)=(1-\log 2)+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\log 2$$
である。

$\mu (E)=\lambda (E\cap (0,1))+{\sum }_{n\ge 1}{2}^{-n}{\delta }_{1/n}(E)$ を、ルベーグ測度の部分と点質量の部分に分けて計算する。

(1) ルベーグ測度の部分。$\lfloor 1/x\rfloor =k$ となる $x$ の範囲は $x\in (1/(k+1),1/k]$ で、その長さは $1/k-1/(k+1)$ である。$E$ は $k=2m$ ($m\ge 1$) の場合の和集合だから、
$$\lambda (E)=\sum _{m\ge 1}(\frac{1}{2m}-\frac{1}{2m+1})=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots .$$
$\log 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$ より、この和は $1-\log 2$ である。

(2) 点質量の部分。$x=1/n$ のとき $\lfloor 1/x\rfloor =n$ だから、$1/n\in E$ となるのは $n$ が偶数のときに限る（$n=1$ は奇数なので $E$ に入らない）。よって
$$\sum _{m\ge 1}{2}^{-2m}=\sum _{m\ge 1}{4}^{-m}=\frac{1/4}{1-1/4}=\frac{1}{3}.$$

(3) 合計。
$$\mu (E)=1-\log 2+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\log 2.$$

数値で確かめると $\lambda (E)=1-0.6931=0.3069$ で、これに $1/3$ を足して約 $0.640$ となる。冒頭の部分和 $1/2-1/3+1/4-1/5\approx 0.28$ は $0.3069$ に近づく値であり、矛盾しない。