測度論・実解析の問題

手順 1：測度 0 の集合を無視する。 有理数全体 $\mathbb{Q}\cap [0,\infty )$ は可算集合である。1 点のルベーグ測度は $0$ なので、可算加法性からその測度は $0$ である。そこで
$$g(x)=e^{-\lfloor x\rfloor }(x\ge 0)$$
とおくと、$f$ と $g$ は測度 $0$ の集合の外で一致する（ほとんど至るところ等しい）。ほとんど至るところ等しい非負可測関数の積分は等しいので、
$${\int }_{[0,\infty )}fd\lambda ={\int }_{[0,\infty )}gd\lambda .$$

手順 2：$g$ を単関数で書く。 $k\le x<k+1$（$k=0,1,2,\dots$）のとき $\lfloor x\rfloor =k$ なので
$$g=\sum _{k=0}^{\infty }{e}^{-k}{1}_{[k,k+1)}.$$
$N=0,1,2,\dots$ に対して単関数
$$g_N=\sum _{k=0}^N{e}^{-k}{1}_{[k,k+1)}$$
を考える。$g_N\ge 0$ であり、$N$ について単調増加で、各点で $g_N(x)\to g(x)$ となる。

手順 3：単関数の積分を計算する。 単関数の積分は「値 $\times$ その値をとる集合の測度」の和であり、$\lambda ([k,k+1))=1$ だから
$$\int g_{N}d\lambda =\sum _{k=0}^N{e}^{-k}\cdot 1=\frac{1-e^{-(N+1)}}{1-e^{-1}}.$$

手順 4：極限をとる。 単調収束定理より
$$\int gd\lambda =\underset{N\to \infty }{\lim }\int g_{N}d\lambda =\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1-e^{-(N+1)}}{1-e^{-1}}=\frac{1}{1-e^{-1}}=\frac{e}{e-1}.$$

したがって
$${\int }_{[0,\infty )}fd\lambda =\frac{e}{e-1}.$$

有理数全体は可算集合なのでルベーグ測度 0 である。よって $f$ は、ほとんど至るところ $g(x)=e^{-\lfloor x\rfloor }$ に等しく、積分の値は $g$ の積分に一致する。

$g$ は非負可測なので、区間 $[n,n+1)$ ごとに分けて単調収束定理（または項別積分）を用いると
$${\int }_{[0,\infty )}gd\lambda =\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_{[n,n+1)}{e}^{-n}d\lambda =\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-n}.$$
これは初項 1、公比 $e^{-1}$ の等比級数で、公比は絶対値が 1 未満だから収束し
$$\sum _{n=0}^{\infty }{e}^{-n}=\frac{1}{1-e^{-1}}=\frac{e}{e-1}.$$

検算：$e\approx 2.718$ より $e/(e-1)\approx 1.582$。級数の部分和は $1+0.368+0.135+0.050+0.018+\cdots \approx 1.582$ で一致する。