測度論・実解析の問題

方針. $f$ は 0 以上の整数値だけをとる関数です。値ごとに定義域を分けると、$f$ は「階段状の単関数を可算個つないだもの」になります。そこで単関数の積分を足し上げ、単調収束定理で極限をとります。

1. 値ごとの集合を求める. $0<x<1$ のとき ${\log }_3\frac{1}{x}>0$ です。整数 $n\ge 0$ に対し
$$f(x)=n⟺n\le {\log }_3\frac{1}{x}<n+1⟺3^n\le \frac{1}{x}<3^{n+1}⟺3^{-(n+1)}<x\le 3^{-n}.$$
よって $E_n=\{x\in (0,1):f(x)=n\}=\left(3^{-(n+1)},3^{-n}\right]\cap (0,1)$ です。これらは互いに交わらず、合わせると $(0,1)$ 全体になります。どれも区間なので $f$ は可測です。測度は
$$\lambda (E_n)=3^{-n}-3^{-(n+1)}=\frac{2}{3^{n+1}}$$
です（$n=0$ のときは $(1/3,1)$ で、測度 $2/3$）。

2. 単関数で近似する. $f_N={\sum }_{n=0}^{N}n{1}_{E_n}$ とおきます。$f_N$ は単関数で、$0\le f_1\le f_2\le \cdots$ かつ $f_N\to f$（各点）が成り立ちます。単関数の積分の定義から
$$\int f_{N}d\lambda =\sum _{n=0}^{N}n\lambda (E_n)=\frac{2}{3}\sum _{n=1}^N\frac{n}{3^n}.$$
$f_N\ge 0$ は単調増加なので、単調収束定理により
$$I=\underset{N\to \infty }{\lim }\int f_{N}d\lambda =\frac{2}{3}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^n}$$
となります。

3. 級数を計算する. $r=\frac{1}{3}$、$S_N={\sum }_{n=1}^{N}n{r}^n$ とおくと
$$S_N-r{S}_N=\sum _{n=1}^N{r}^n-N{r}^{N+1}=\frac{r(1-r^N)}{1-r}-N{r}^{N+1}.$$
$N\to \infty$ のとき $r^N\to 0$、$N{r}^{N+1}\to 0$ なので
$$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N=\frac{r}{(1-r{)}^2}=\frac{1/3}{4/9}=\frac{3}{4}.$$

4. 結論.
$$I=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}.$$

$f(x)=k$ となるのは $k\le {\log }_3(1/x)<k+1$、すなわち $3^{-(k+1)}<x\le 3^{-k}$ のときである。$x\in (0,1)$ では ${\log }_3(1/x)>0$ なので $k=0,1,2,\dots$ である。この集合の測度は $3^{-k}-3^{-k-1}=2\cdot 3^{-k-1}$ である。

よって単関数の極限（単調収束定理）により
$$I=\sum _{k\ge 0}k\cdot 2\cdot 3^{-k-1}=\frac{2}{3}\sum _{k\ge 0}k{3}^{-k}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1/3}{(1-1/3{)}^2}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}.$$

検算：$I={\sum }_{k\ge 1}\lambda (f\ge k)$ である。$f\ge k⟺x\le 3^{-k}$ より $\lambda (f\ge k)=3^{-k}$ なので、$I={\sum }_{k\ge 1}{3}^{-k}=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1}{2}$ となり一致する。