測度論・実解析の問題

方針　$f$ は可算個の区間の上で定数をとる非負可測関数です。そこで、有限個の区間だけを残した単関数で $f$ を下から近似し、単調収束定理で積分を求めます。

1. 区間への分割　$I_n=(2^{-n},2^{-n+1}]$ $(n=1,2,3,\dots )$ とおきます。これらは互いに交わらず、合併は $(0,1]$ です。$f=n$ が $I_n$ の上で成り立ち、
$$\lambda (I_n)=2^{-n+1}-2^{-n}=2^{-n}$$
です。各 $I_n$ はボレル集合なので、$f$ は可測です。

2. 単関数による近似　正の整数 $N$ に対して単関数
$${\phi }_N=\sum _{n=1}^{N}n{1}_{I_n}$$
を考えます。${\phi }_N$ は $I_1,\dots ,I_N$ の上では $f$ と一致し、それ以外では $0$ です。よって $0\le {\phi }_1\le {\phi }_2\le \cdots$ であり、各点で ${\phi }_N(x)\to f(x)$ となります（$x\in I_n$ ならば、$N\ge n$ のとき ${\phi }_N(x)=f(x)$）。

単関数の積分の定義から
$$\int {\phi }_{N}d\lambda =\sum _{n=1}^{N}n\lambda (I_n)=\sum _{n=1}^{N}n{2}^{-n}=:S_N$$
です。

3. $S_N$ の計算　$S_N$ から $\frac{1}{2}{S}_N={\sum }_{n=1}^{N}n{2}^{-n-1}$ を引きます。添字をずらして同じ $2^{-n}$ の項どうしをまとめると、
$$S_N-\frac{1}{2}{S}_N=\sum _{n=1}^N{2}^{-n}-N{2}^{-N-1}=1-2^{-N}-N{2}^{-N-1}.$$
したがって
$$S_N=2-2^{1-N}-N{2}^{-N}$$
です。$N\to \infty$ のとき $2^{1-N}\to 0$ です。また $2^N\ge \frac{N(N-1)}{2}$（二項展開）より $0\le N{2}^{-N}\le \frac{2}{N-1}\to 0$ です（はさみうち）。よって $S_N\to 2$ となります。

4. 単調収束定理　${\phi }_N$ は非負で単調増加し、$f$ に各点収束します。したがって単調収束定理により
$$I=\int fd\lambda =\underset{N\to \infty }{\lim }\int {\phi }_{N}d\lambda =\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N=2.$$

答え　$I=2$

区間 $(2^{-n},2^{-n+1}]$ の長さは $2^{-n+1}-2^{-n}=2^{-n}$ である。$f$ は非負の単関数の可算和として表せるので、単調収束定理（非負項の項別積分）により
$$I=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot 2^{-n}.$$
${\sum }_{n\ge 1}n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}$ に $x=1/2$ を代入すると、$\frac{1/2}{(1/2{)}^2}=2$ となる。
検算: 部分和は $1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+\cdots =0.5+0.5+0.375+0.25+0.15625+0.09375+\dots$ で、2 に近づく。たとえば $n=6$ までで $1.875$、$n=7$ の項 $7/128\approx 0.0547$ を加えて $1.930$ となり、2 に収束する。
また、$(0,1]={⨆}_{n\ge 1}(2^{-n},2^{-n+1}]$ であり、各 $x$ に対して $n$ がただ 1 つ定まるので $f$ は well-defined である。
よって $I=2$。