測度論・実解析の問題

方針. 内側の積分 ${\int }_{\sqrt{x}}^1{e}^{y^3}dy$ は初等関数で表せないので、トネリの定理を使って積分の順序を交換する。

手順 1: 仮定の確認. $g(x,y)=e^{y^3}{1}_D(x,y)$ とおく。$D$ は閉集合なのでボレル可測であり、$e^{y^3}$ は連続である。よって $g$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の可測関数で、つねに $g\ge 0$ である。したがってトネリの定理より、
$${\int }_{{\mathbb{R}}^2}gd{\lambda }_2={\int }_{\mathbb{R}}\left({\int }_{\mathbb{R}}g(x,y)dy\right)dx={\int }_{\mathbb{R}}\left({\int }_{\mathbb{R}}g(x,y)dx\right)dy$$
が成り立つ（値が $+\infty$ の場合も含めて等しい）。左の累次積分が問題の $I$ である。

手順 2: 領域を $y$ を先に固定して書き直す. $0\le x\le 1$ かつ $\sqrt{x}\le y\le 1$ という条件は、$0\le y\le 1$ かつ $0\le x\le y^2$ と同値である（$y\ge 0$ なので $\sqrt{x}\le y⟺x\le y^2$）。よって
$$D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,0\le x\le y^2\}.$$

手順 3: 順序を交換して計算する.
$$I={\int }_0^1\left({\int }_0^{y^2}{e}^{y^3}dx\right)dy={\int }_0^1{y}^2{e}^{y^3}dy.$$
$t=y^3$ と置換すると $dt=3y^{2}dy$ なので
$$I={\int }_0^1\frac{1}{3}{e}^{t}dt=\frac{1}{3}{\left[e^t\right]}_0^1=\frac{e-1}{3}.$$
値は有限なので、$f$ は $D$ 上でルベーグ可積分でもある。

答え. $I=\frac{e-1}{3}$

$D$ は $0\le x\le 1,\sqrt{x}\le y\le 1$ で表される。$y\ge 0$ なので $\sqrt{x}\le y⟺x\le y^2$ であり、$D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,0\le x\le y^2\}$ とも書ける。被積分関数 $e^{y^3}$ は連続で非負なので、トネリ（フビニ）の定理により積分の順序を交換できる。

$$I={\int }_0^1\left({\int }_0^{y^2}{e}^{y^3}dx\right)dy={\int }_0^1{y}^2{e}^{y^3}dy.$$

$u=y^3$ と置くと $du=3y^{2}dy$ なので、

$$I=\frac{1}{3}{\int }_0^1{e}^{u}du=\frac{e-1}{3}.$$

検算：$\frac{d}{dy}\left(\frac{e^{y^3}}{3}\right)=y^2{e}^{y^3}$ であるから、${\left[\frac{e^{y^3}}{3}\right]}_0^1=\frac{e-1}{3}$ となり一致する。数値では約 $0.5728$ で、$D$ の面積 $1/3$ に $e^{y^3}$ の平均値 $1.7$ 程度を掛けた値と整合する。