ルベーグ外測度と零集合

区間による可算被覆の長さの和の下限としてルベーグ外測度を計算できる。可算集合・カントール集合が測度 0 であることを示し、区間から開区間を順に取り除いて作る集合（太ったカントール集合など）の測度を求められる

前提

測度の可算加法性と連続性（大学院数学測度論・実解析）

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算数中学高校大学大学院

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説明

$R$ の任意の部分集合 $A$ に対して、区間で可算個に覆ったときの長さの和の下限として「大きさ」 $m^{*} (A)$ （ルベーグ外測度）を定め、それを計算する技能です。特に、 $m^{*} (A) = 0$ となる集合（零集合）を見分けられるようになり、可算集合やカントール集合が長さ 0 であることを示せます。また、区間から開区間を順に取り除いて作る集合（太ったカントール集合など）の測度を、取り除いた長さの和から求められます。

なぜそうしてよいのか

ルベーグ外測度は
$m^{*} (A) = in f {k = 1 \sum \infty (b_{k} - a_{k}) : A \subset k = 1 ⋃ \infty (a_{k}, b_{k})}$
で定義されます（開区間の代わりに閉区間で覆っても値は同じ）。「下限」なので、上から評価するには具体的な被覆を 1 つ作ればよく、 $m^{*} (A) \leq ε$ をすべての $ε > 0$ について示せば $m^{*} (A) = 0$ です。たとえば可算集合 ${q_{1}, q_{2}, \dots}$ は、 $q_{k}$ を長さ $ε / 2^{k}$ の開区間で覆えば長さの和が $\sum_{k} ε / 2^{k} = ε$ なので零集合です。点がどれほど稠密に並んでいても（有理数全体でも）、可算個なら長さを等比級数で小さくできるのがポイントです。

カントール集合 $C$ （ $[0, 1]$ から中央の $\frac{1}{3}$ の開区間を取り除くことを繰り返して残る集合）は非可算ですが、 $n$ 段階目まで取り除いた集合 $C_{n}$ は長さ $3^{- n}$ の閉区間 $2^{n}$ 個からなり、 $C \subset C_{n}$ なので $m^{*} (C) \leq (2/3)^{n} \to 0$ 、よって零集合です。

一方、取り除く開区間の長さを速く小さくすると、残る集合は正の測度をもちます。区間の有限和の（ルベーグ）測度は長さの和で、ルベーグ可測集合では外測度と測度が一致します。 $C_{n}$ は閉区間の有限和からなる減少列で $m (C_{1}) < \infty$ なので、測度の連続性から $m (⋂_{n} C_{n}) = lim_{n} m (C_{n}) = (元の区間の長さ) - (取り除いた開区間の長さの総和)$ となります。取り除いた開区間はすべて互いに交わらないので、その総和は可算加法性から取り除いた部分全体の測度に等しくなります。

手順

集合が零集合かを調べるときは、任意の $ε > 0$ に対して長さの和が $ε$ 以下（または $\to 0$ ）となる可算個の区間による被覆を作る。可算集合なら $k$ 番目の点を長さ $ε / 2^{k}$ の区間で覆う
段階的に取り除いて作る集合なら、 $n$ 段階目に残る集合 $C_{n}$ が何個の閉区間からなり、全体の長さがいくらかを求める
$C = ⋂_{n} C_{n}$ と表し、 $C \subset C_{n}$ から $m^{*} (C) \leq m (C_{n})$ 、さらに減少列の連続性から $m (C) = lim_{n \to \infty} m (C_{n})$ とする
$m (C_{n}) = (元の長さ) - \sum_{k = 1}^{n} (第 k 段階で取り除いた長さ)$ を計算し、無限級数として極限をとる

例題

閉区間 $[0, 1]$ から次の操作で集合を作る。第 $1$ 段階では $[0, 1]$ の中央から長さ $\frac{1}{5}$ の開区間を取り除く。第 $n$ 段階（ $n \geq 2$ ）では、第 $n - 1$ 段階までに残った $2^{n - 1}$ 個の閉区間のそれぞれから、その中央にある長さ $\frac{1}{5 ^{n}}$ の開区間を取り除く（この操作はつねに可能である）。すべての段階のあとに残る集合を $C$ とするとき、 $C$ のルベーグ測度 $m (C)$ を求めよ。

例題の解答

手順 2（各段階で残る集合） 第 $n$ 段階のあとに残る集合を $C_{n}$ とする。第 $k$ 段階では $2^{k - 1}$ 個の閉区間から長さ $5^{- k}$ の開区間を 1 つずつ取り除くので、取り除く長さは $2^{k - 1} \cdot 5^{- k}$ 。 $C_{n}$ は $2^{n}$ 個の互いに交わらない閉区間の和で
$m (C_{n}) = 1 - k = 1 \sum n \frac{2 ^{k - 1}}{5 ^{k}} .$

手順 3（極限への書き換え） $C = ⋂_{n} C_{n}$ で、 $C_{1} \supset C_{2} \supset \dots$ は減少列、 $m (C_{1}) = \frac{4}{5} < \infty$ 。よって測度の連続性から $m (C) = lim_{n \to \infty} m (C_{n})$ 。

手順 4（無限級数）
$k = 1 \sum \infty \frac{2 ^{k - 1}}{5 ^{k}} = \frac{1}{5} k = 1 \sum \infty (\frac{2}{5})^{k - 1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{1}{3} .$
したがって $m (C) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ 。

答え: $\frac{2}{3}$

よくある誤り

各段階で取り除く開区間の個数を数え忘れ、取り除く長さの総和を $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{5 ^{k}} = \frac{1}{4}$ としてしまう誤り。第 $k$ 段階では $2^{k - 1}$ 個の区間からそれぞれ取り除くので、正しくは $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 ^{k - 1}}{5 ^{k}} = \frac{1}{3}$
「非可算集合は測度が正」「稠密な集合は測度が正」と考えてしまう誤り。カントール集合は非可算だが $m^{*} (C) \leq (2/3)^{n} \to 0$ より零集合であり、有理数全体 $Q$ は $R$ で稠密だが可算なので $m^{*} (Q) = 0$
可算集合の被覆で、すべての点を同じ長さ $ε$ の区間で覆ってしまう誤り。長さの和は $\sum_{k} ε = \infty$ となり評価にならない。正しくは $k$ 番目の点を長さ $ε / 2^{k}$ の区間で覆って和を $ε$ にする
有限個の区間による被覆の下限で外測度を求めてしまう誤り。有限個に限ると $[0, 1] \cap Q$ を覆う有限個の開区間の長さの和は必ず $1$ 以上になる（有限個の区間で覆えるなら閉包 $[0, 1]$ も覆える）が、可算個の被覆を許せば $m^{*} ([0, 1] \cap Q) = 0$ である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
閉区間 $C_{0} = [0, 1]$ から始めて、閉集合の列 $C_{0} \supset C_{1} \supset C_{2} \supset \dots$ を次のように作る。正の整数 $k$ に対し、 $C_{k - 1}$ は互いに交わらない $2^{k - 1}$ 個の閉区間の和集合であり、そのそれぞれの閉区間から、中点を中心とする長さ $\frac{1}{5 ^{k}}$ の開区間を取り除いたものを $C_{k}$ とする（このとき取り除く開区間はいつも元の閉区間の内部に収まり、 $C_{k}$ は $2^{k}$ 個の閉区間の和集合になる）。
$C = k = 0 ⋂ \infty C_{k}$
とおくとき、 $C$ のルベーグ測度 $λ (C)$ を求めよ。