測度論・実解析の問題

1. 各段階で取り除く長さを数える。 第 $k$ 段階では、$C_{k-1}$ を作る $2^{k-1}$ 個の閉区間のそれぞれから長さ $\frac{1}{5^k}$ の開区間を 1 つずつ取り除く。取り除く開区間は互いに交わらないので、ルベーグ測度の加法性から、第 $k$ 段階で取り除く部分の測度は
$$2^{k-1}\cdot \frac{1}{5^k}=\frac{1}{5}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{k-1}.$$

2. $C_k$ の測度を求める。 $C_k$ は $[0,1]$ から第 $1$ 段階から第 $k$ 段階までに取り除いた（互いに交わらない）開区間を除いたものなので
$$\lambda (C_k)=1-\sum _{j=1}^k\frac{1}{5}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{j-1}=1-\frac{1}{5}\cdot \frac{1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^k}{1-\frac{2}{5}}=1-\frac{1}{3}\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^k\right).$$

3. 測度の連続性を使う。 $C_0\supset C_1\supset \cdots$ は減少列で $\lambda (C_0)=1<\infty$ なので、測度の上からの連続性により
$$\lambda (C)=\underset{k\to \infty }{\lim }\lambda (C_k)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$
（同じことだが、取り除いた開区間全体の測度は可算加法性から無限等比級数 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{5}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{k-1}=\frac{1/5}{1-2/5}=\frac{1}{3}$ であり、$\lambda (C)=1-\frac{1}{3}$ となる。）

このように $C$ は内部に区間を含まない（各段階で区間の中央を取り除き続ける）のに、正の測度 $\frac{2}{3}$ をもつ。

第 $k$ 段階（$k\ge 1$）で取り除く開区間は $2^{k-1}$ 個で、それぞれの長さは $5^{-k}$。よって $\lambda (C_k)=\lambda (C_{k-1})-\frac{2^{k-1}}{5^k}$、$\lambda (C_0)=1$。したがって
$$\lambda (C_k)=1-\sum _{j=1}^k\frac{2^{j-1}}{5^j}=1-\frac{1}{5}\cdot \frac{1-(2/5{)}^k}{1-2/5}=1-\frac{1}{3}\left(1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^k\right).$$

$C_k$ は単調減少列で $\lambda (C_0)=1<\infty$ なので、測度の上からの連続性により
$$\lambda (C)=\underset{k\to \infty }{\lim }\lambda (C_k)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

検算: 取り除く開区間は互いに交わらない（各段階で元の閉区間の内部から取るため）ので、取り除いた総長は ${\sum }_{k\ge 1}\frac{2^{k-1}}{5^k}=\frac{1/5}{1-2/5}=\frac{1}{3}$。$k=1$: $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$（2 区間、各 $\frac{2}{5}$）、$k=2$: $\frac{4}{5}-\frac{2}{25}=\frac{18}{25}$ で、公式 $1-\frac{1}{3}(1-\frac{4}{25})=1-\frac{7}{25}=\frac{18}{25}$ と一致。