ギルサノフの定理

ギルサノフの定理で測度を変換し、ドリフト付きブラウン運動の期待値や確率を、ドリフトなしのブラウン運動で計算できる

前提

伊藤の公式（大学院数学確率解析）

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算数中学高校大学大学院

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伊藤の公式（大学院数学確率解析）

説明

ギルサノフの定理は、確率測度を正の重み $Z_{T} = exp (μ B_{T} - \frac{1}{2} μ^{2} T)$ で取り替えると、ブラウン運動にドリフト $μ t$ が付いたり外れたりすることを述べる定理です。これを使うと、ドリフト付きブラウン運動 $X_{t} = B_{t} + μ t$ の経路に関する期待値や確率を、ドリフトなしのブラウン運動 $B$ の期待値に書き直せます。ドリフトなしのブラウン運動には、正規分布・共分散 $min (s, t)$ ・反射原理といった道具がそのまま使えます。使われる場面は、ドリフト付き過程の最大値や到達時刻の分布、金融数学でのリスク中立測度への変換、重点サンプリングなどです。

なぜそうしてよいのか

設定を固定します。 $(Ω, F, P)$ 上の標準ブラウン運動を $B$ 、それが生成するフィルトレーションを $(F_{t})$ とし、終端時刻 $T > 0$ と実数 $μ$ を固める。 $Z_{t} = exp (μ B_{t} - \frac{1}{2} μ^{2} t)$ とおく。 $f (t, x) = e^{μx - μ^{2} t /2}$ に伊藤の公式を使うと、 $f_{t} = - \frac{1}{2} μ^{2} f$ 、 $f_{xx} = μ^{2} f$ なので $d t$ の項が打ち消し合い、 $d Z_{t} = μ Z_{t} d B_{t}$ となる。つまり $Z$ はドリフトのない過程です。実際、積率母関数 $E [e^{μ B_{t}}] = e^{μ^{2} t /2}$ と増分の独立性から、 $Z$ はマルチンゲールで $E [Z_{T}] = 1$ がわかる。また $Z_{T} > 0$ である。したがって $Q (A) = E [Z_{T} 1_{A}]$ （ $A \in F_{T}$ ）は確率測度で、 $P$ と同じ零集合をもつ。

定理の主張は「 $Q$ のもとで $W_{t} = B_{t} - μ t$ （ $0 \leq t \leq T$ ）は標準ブラウン運動」です。確かめてみます。分割 $0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = T$ をとり、増分を $Δ_{k} B = B_{t_{k}} - B_{t_{k - 1}}$ 、 $Δ_{k} t = t_{k} - t_{k - 1}$ と書く。重みは $Z_{T} = \prod_{k} exp (μ Δ_{k} B - \frac{1}{2} μ^{2} Δ_{k} t)$ と増分ごとに分解できる。 $P$ のもとでの増分の独立性を使うと
$E_{Q} [e^{\sum_{k} λ_{k} Δ_{k} W}] = k \prod E [e^{(λ_{k} + μ) Δ_{k} B}] e^{- (λ_{k} μ + \frac{1}{2} μ^{2}) Δ_{k} t} = k \prod e^{\frac{1}{2} λ_{k}^{2} Δ_{k} t} .$
よって $Q$ のもとで $W$ の増分は独立で、それぞれ $N (0, Δ_{k} t)$ に従う。時刻 $T$ 以下の有限個の時刻は、必ずこのような分割に含められる。経路の連続性は測度を変えても変わらないので、 $W$ は $Q$ -ブラウン運動です。

すると $Q$ のもとでは $B_{t} = W_{t} + μ t$ がドリフト $μ$ 付きのブラウン運動になる。つまり「 $Q$ のもとでの $B$ の分布」は「 $P$ のもとでの $X = B + μ t$ の分布」と一致する。ゆえに、 $[0, T]$ 上の経路の関数 $F$ （非負、または可積分）に対して
$E [F (X)] = E_{Q} [F (B)] = E [F (B) e^{μ B_{T} - \frac{1}{2} μ^{2} T}]$
が成り立つ。直観的には、1 時刻での密度の比 $\frac{φ _{T} ( x - μ T )}{φ _{T} ( x )} = e^{μx - μ^{2} T /2}$ （ $φ_{T}$ は $N (0, T)$ の密度）が終点 $x$ だけで決まる、ということです。各区間の比を掛け合わせると途中の値が打ち消し合い、重みは終点 $B_{T}$ だけに依存する。なお、 $θ_{t}$ が適合過程でノビコフ条件 $E [e^{\frac{1}{2} \int_{0}^{T} θ_{t}^{2} d t}] < \infty$ を満たせば、 $μ$ を $θ_{t}$ に置き換えた一般形 $Z_{T} = exp (\int_{0}^{T} θ_{t} d B_{t} - \frac{1}{2} \int_{0}^{T} θ_{t}^{2} d t)$ も成り立つ。

手順

問題の過程を $X_{t} = B_{t} + μ t$ の形に読み取り、ドリフト $μ$ を決める。求める量が経路のどの時刻まで依存するかを見て、終端時刻 $T$ も決める。
求める量を $E [F (X)]$ と書く（確率なら $F = 1_{A}$ とする）。
ギルサノフの定理で、ドリフト付きの $X$ をドリフトなしの $B$ に置き換える: $E [F (X)] = E [F (B) e^{μ B_{T} - \frac{1}{2} μ^{2} T}]$ 。
被積分関数を整理する。 $F$ に含まれる指数因子と重み $e^{μ B_{T} - \frac{1}{2} μ^{2} T}$ が打ち消し合うことが多い。
残ったドリフトなしのブラウン運動の期待値を計算する。使う道具は $B_{T} \sim N (0, T)$ 、 $E [B_{s} B_{t}] = min (s, t)$ 、反射原理など。

例題

$B$ を標準ブラウン運動とし、 $X_{t} = B_{t} + 2 t$ とおく。 $E [(\int_{0}^{1} X_{t} d t)^{2} e^{- 2 X_{1}}]$ を求めよ。

例題の解答

手順1: ドリフトは $μ = 2$ です。求める量は時刻 $0 \leq t \leq 1$ の経路に依存するので $T = 1$ とする。

手順2: 経路 $x$ に対して $F (x) = (\int_{0}^{1} x_{t} d t)^{2} e^{- 2 x_{1}}$ とおくと、求める量は $E [F (X)]$ です。 $F \geq 0$ なので、定理をそのまま適用できる。

手順3: 重みは $e^{2 B_{1} - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1} = e^{2 B_{1} - 2}$ なので
$E [F (X)] = E [(\int_{0}^{1} B_{t} d t)^{2} e^{- 2 B_{1}} \cdot e^{2 B_{1} - 2}] .$

手順4: 指数因子 $e^{- 2 B_{1}}$ と $e^{2 B_{1}}$ が打ち消し合い、 $e^{- 2} E [(\int_{0}^{1} B_{t} d t)^{2}]$ が残る。

手順5: 被積分関数を展開すると $(\int_{0}^{1} B_{t} d t)^{2} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} B_{s} B_{t} d s d t$ となる。 $E \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} ∣ B_{s} B_{t} ∣ d s d t \leq \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} s t d s d t < \infty$ なので、フビニの定理で期待値と積分を交換できる。
$E [(\int_{0}^{1} B_{t} d t)^{2}] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} min (s, t) d s d t = 2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} s d s d t = 2 \int_{0}^{1} \frac{t ^{2}}{2} d t = \frac{1}{3} .$

よって求める値は $\frac{e ^{- 2}}{3}$ です。直接計算するなら $(\int_{0}^{1} X_{t} d t, X_{1})$ の同時正規分布を扱う必要がある。ギルサノフの定理を使えば、指数因子が消えて分散の計算だけで済む。

答え: $\frac{e ^{- 2}}{3}$

よくある誤り

重みの補正項や符号を落としてしまう誤り。たとえば $E [F (X)] = E [F (B) e^{μ B_{T}}]$ とする。正しくは $E [F (X)] = E [F (B) e^{μ B_{T} - \frac{1}{2} μ^{2} T}]$ です。 $F = 1$ とおけば左辺は $1$ で、補正項がないと右辺が $E [e^{μ B_{T}}] = e^{μ^{2} T /2} \neq = 1$ となって矛盾することで確かめられる。
重みの中に $X$ を入れてしまう誤り。たとえば $E [F (X)] = E [F (B) e^{μ X_{T} - \frac{1}{2} μ^{2} T}]$ とする。重みの中身はドリフトなしの $B_{T}$ です。逆向き（ $B$ の期待値を $X$ で表す）なら $E [G (B)] = E [G (X) e^{- μ X_{T} + \frac{1}{2} μ^{2} T}]$ となる。
重みの時刻を途中の時刻にしてしまう誤り。 $F$ が $[0, T]$ の経路に依存するなら、重みは $e^{μ B_{T} - \frac{1}{2} μ^{2} T}$ （ $T$ 以上の時刻なら何でもよい）でなければならない。例: $E [X_{1}] = μ$ を重み $e^{μ B_{1/2} - μ^{2} /4}$ で計算すると $E [B_{1} e^{μ B_{1/2} - μ^{2} /4}] = μ /2$ となり、誤りになる。
無限の時間区間でそのまま使ってしまう誤り。 $μ \neq = 0$ なら $μ B_{T} - \frac{1}{2} μ^{2} T \to - \infty$ （a.s.）なので $Z_{T} \to 0$ となり、 $F_{\infty}$ 上では $Q$ を作れない。到達時刻 $τ$ などを扱うときは、有限の $T$ で切って使う。正しくは $P (τ^{X} \leq T) = E [1_{{τ^{B} \leq T}} e^{μ B_{T} - \frac{1}{2} μ^{2} T}]$ です（ $τ^{X}, τ^{B}$ はそれぞれ $X, B$ の到達時刻）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ブラウン運動の二次汎関数の期待値（カメロン・マルティンの公式）（大学院数学確率解析）