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偏微分方程式の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学偏微分方程式

$u = u (x, t)$ に対する保存則（バーガース方程式）の初期値問題
$u_{t} + (\frac{u ^{2}}{2})_{x} = 0 (x \in R, t > 0),$
$u (x, 0) = ⎩ ⎨ ⎧ 210 (- 1 < x < 0) (0 < x < 1) (x < - 1 または x > 1)$
を考える。 $u$ はこの問題のエントロピー解（区分的に滑らかで、不連続線ではランキン・ユゴニオ条件とラックスのエントロピー条件をみたす弱解）とする。このエントロピー解は、ある時刻以降、不連続線（衝撃波）をちょうど 1 本だけもつ。時刻 $t = 6$ における衝撃波の位置 $x$ 座標を求めよ。

この問題で使うもの

変数分離形（説明と入口の問題）
偏微分方程式の用語と解の確認（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

各跳びについて、左右の値の大小から衝撃波になるか希薄波になるかを判定し、衝撃波の速さはランキン・ユゴニオ条件 $s^{'} = \frac{u _{-} + u _{+}}{2}$ で求めましょう。

ヒント 2

$x = 0$ と $x = 1$ から出る 2 本の衝撃波はやがて合体し、その後 $x = - 1$ から出る希薄波 $u = \frac{x + 1}{t}$ の先端が衝撃波に追いつきます。それぞれの時刻を求めましょう。

ヒント 3

2 本の衝撃波は $t = 1$ , $x = \frac{3}{2}$ で合体し、速さ $1$ で進みます。希薄波の先端が追いつくのは $t = \frac{3}{2}$ , $x = 2$ で、以後は $s^{'} = \frac{s + 1}{2 t}$ をみたします。

答えと解説

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5

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解説を読む

特性曲線は $\frac{d x}{d t} = u$ で、その上で $u$ は一定だから直線になる。不連続線 $x = s (t)$ の速さはランキン・ユゴニオ条件より $s^{'} = \frac{u _{-} + u _{+}}{2}$ （ $u_{-}, u_{+}$ は左右の値）であり、エントロピー条件は $u_{-} > u_{+}$ である。

初期の構造. 初期値の 3 つの跳びを順に見る。
- $x = - 1$ : 左 $0$ 、右 $2$ で $u_{-} < u_{+}$ なので希薄波（扇形）になる。 $- 1 < x < - 1 + 2 t$ で $u = \frac{x + 1}{t}$ 。
- $x = 0$ : 左 $2$ 、右 $1$ なので衝撃波 $A$ 。速さ $\frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$ で $x = \frac{3}{2} t$ 。
- $x = 1$ : 左 $1$ 、右 $0$ なので衝撃波 $B$ 。速さ $\frac{1}{2}$ で $x = 1 + \frac{t}{2}$ 。

希薄波の先端 $x = - 1 + 2 t$ と $A$ の間は $u = 2$ 、 $A$ と $B$ の間は $u = 1$ である。

衝撃波の合体. $\frac{3}{2} t = 1 + \frac{t}{2}$ より $t = 1$ 、 $x = \frac{3}{2}$ で $A$ と $B$ が合体する（このとき希薄波の先端は $x = 1 < \frac{3}{2}$ でまだ追いついていない）。合体後は左 $2$ 、右 $0$ の衝撃波で速さ $1$ だから
$s (t) = \frac{3}{2} + (t - 1) = t + \frac{1}{2} (t \geq 1) .$

希薄波が追いつく. 先端 $- 1 + 2 t$ が $t + \frac{1}{2}$ に追いつくのは $t = \frac{3}{2}$ 、 $x = 2$ のとき。以後、衝撃波の左側は $u_{-} = \frac{s + 1}{t}$ 、右側は $u_{+} = 0$ なので
$s^{'} (t) = \frac{s + 1}{2 t}, s (\frac{3}{2}) = 2.$
$w = s + 1$ とおくと $w^{'} = \frac{w}{2 t}$ より $w = C t$ 。 $w (\frac{3}{2}) = 3$ から $C = \frac{3}{3/2} = 6$ 。よって
$s (t) = 6 t - 1 (t \geq \frac{3}{2}) .$
このとき $u_{-} = \frac{s + 1}{t} = \frac{6}{t} > 0 = u_{+}$ でエントロピー条件をみたす。

検算（質量保存）. 初期の質量は $\int u d x = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3$ 。 $t \geq \frac{3}{2}$ では $\int_{- 1}^{s} \frac{x + 1}{t} d x = \frac{( s + 1 ) ^{2}}{2 t} = \frac{6 t}{2 t} = 3$ で一致する。

したがって $t = 6$ では $s (6) = 36 - 1 = 5$ 。

答え: $5$

別解

特性速度は $u$ 。初期の不連続点ごとに考える。

$x = - 1$ （ $0 \to 2$ 、上昇）: 膨張波 $u = \frac{x + 1}{t}$ $(- 1 < x < - 1 + 2 t)$ 。先端は $x = - 1 + 2 t$ 。
$x = 0$ （ $2 \to 1$ ）: 衝撃波 $S_{1}$ 、速さ $\frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$ 、 $x = \frac{3}{2} t$ 。
$x = 1$ （ $1 \to 0$ ）: 衝撃波 $S_{2}$ 、速さ $\frac{1}{2}$ 、 $x = 1 + \frac{t}{2}$ 。

$S_{1}$ と $S_{2}$ は $\frac{3}{2} t = 1 + \frac{t}{2}$ より $t = 1$ , $x = \frac{3}{2}$ で合流（このとき膨張波の先端は $x = 1 < \frac{3}{2}$ なので先に合流する）。合流後は左 $2$ ・右 $0$ の衝撃波で速さ $1$ 、 $x = t + \frac{1}{2}$ 。

膨張波の先端 $x = - 1 + 2 t$ が追いつくのは $- 1 + 2 t = t + \frac{1}{2}$ 、 $t = \frac{3}{2}$ , $x = 2$ 。

その後は左の状態が $u = \frac{x + 1}{t}$ 、右が $0$ なのでランキン・ユゴニオ条件より $\frac{d x}{d t} = \frac{x + 1}{2 t}$ 。 $y = x + 1$ とおくと $y = C t$ 、 $t = \frac{3}{2}$ で $y = 3$ より $C = 6$ 、 $x = 6 t - 1$ 。

$t = 6$ で $x = 36 - 1 = 5$ 。（膨張波の後端 $x = - 1$ より右、左右の値 $u^{-} = 1 > 0 = u^{+}$ でラックス条件もみたす。）

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