偏微分方程式の問題

流束は $f(u)=u^2/2$ で、特性曲線は $\frac{dx}{dt}=u$、その上で $u$ は一定である。左右の状態 $u_L,u_R$ をもつ不連続線の速さはランキン・ユゴニオ条件より $s^{\prime }=\frac{f(u_L)-f(u_R)}{u_L-u_R}=\frac{u_L+u_R}{2}$、エントロピー条件は $u_L>u_R$ である。

(1) $0<t\le 1$。 $x=0$ では $u_L=0<u_R=1$ なので衝撃波は許されず、中心付き希薄波 $u=x/t(0<x<t)$ が生じる。$x=1$ では $u_L=1>u_R=-1$ なので衝撃波が生じ、速さは $(1+(-1))/2=0$、すなわち $s(t)=1$ のまま静止する。希薄波の先端 $x=t$ は $t=1$ で $x=1$ に達する。

(2) $1\le t\le 4$。 衝撃波の左は希薄波 $u_L=s/t$、右は $u_R=-1$ なので
$$s^{\prime }=\frac{1}{2}\left(\frac{s}{t}-1\right),s(1)=1.$$
$s^{\prime }-\frac{s}{2t}=-\frac{1}{2}$ に積分因子 $t^{-1/2}$ を掛けて ${\left(t^{-1/2}s\right)}^{\prime }=-\frac{1}{2}{t}^{-1/2}$、積分して $t^{-1/2}s=-t^{1/2}+C$。$s(1)=1$ より $C=2$ で
$$s(t)=2\sqrt{t}-t.$$
この間 $0<s(t)<t$ で衝撃波は確かに希薄波領域 $0<x<t$ の中にあり、$u_L=2/\sqrt{t}-1>-1=u_R$ でエントロピー条件も満たす。$s(t)=0$ となるのは $\sqrt{t}=2$、すなわち $t=4$ で、このとき希薄波は完全に衝撃波に吸収される。

(3) $t\ge 4$。 衝撃波の左は $u_L=0$（$x<0$ の領域）、右は $u_R=-1$ なので速さは $(0-1)/2=-\frac{1}{2}$、$0>-1$ でエントロピー条件も満たす。よって
$$s(t)=-\frac{1}{2}(t-4)(t\ge 4).$$

したがって $s(9)=-\frac{5}{2}$。

（検算）十分大きい $L$ に対し $\frac{d}{dt}{\int }_{-L}^{L}udx=f(u(-L))-f(u(L))=0-\frac{1}{2}$ であり、${\int }_{-L}^L{u}_{0}dx=1-(L-1)=2-L$ なので $t=9$ で $2-L-\frac{9}{2}=-L-\frac{5}{2}$。一方 $t=9$ の解は $x<s$ で $0$、$x>s$ で $-1$ なので積分は $-(L-s(9))=-L-\frac{5}{2}$ となり一致する。

$x=0$ では左が $0$、右が $1$ で $u_l<u_r$ なので、希薄波 $u=x/t(0<x<t)$ が生じる。$x=1$ では左が $1$、右が $-1$ で $u_l>u_r$ なので衝撃波が生じ、その速さは R-H 条件より $(1+(-1))/2=0$ である。

(1) $0<t<1$: 衝撃波は $s=1$ に留まる。

(2) $t\ge 1$: 希薄波が衝撃波に追いつくので、衝撃波の左側の状態は $u=s/t$、右側は $-1$ となる。R-H 条件より $s^{\prime }=\frac{1}{2}(s/t-1)$。これを $(s{t}^{-1/2}{)}^{\prime }=-\frac{1}{2}{t}^{-1/2}$ と変形して積分すると $s=-t+C\sqrt{t}$。$s(1)=1$ より $C=2$、よって $s=-t+2\sqrt{t}$。これは $s=0$ となる $t=4$ まで有効（$0<s/t<1$ を満たす）。

(3) $t>4$: 衝撃波は希薄波の左端 $x=0$ を越え、左側の状態は $u=0$、右側は $-1$ となる。速さは $(0-1)/2=-1/2$ で、Lax 条件 $0>-1$ も満たす。$s(4)=0$ より $s=-(t-4)/2$。

$s(9)=-(9-4)/2=-5/2$。

検算: $t=4$ で (2) の式は $-4+4=0$ となり、(3) と連続につながる。$t=4$ 直前の速さは $\frac{1}{2}(0-1)=-\frac{1}{2}$ で、(3) の速さと一致する。