偏微分方程式の問題

方針 移流方程式 $u_t+c{u}_x=0$（ここでは $c=2$）は、変数を $\xi =x-ct$ に変えると簡単な形になります。

手順 1：変数変換 $\xi =x-2t,\tau =t$ とおき、$u(x,t)=v(\xi ,\tau )$ と書きます。逆に $x=\xi +2\tau ,t=\tau$ なので、この変換は ${\mathbb{R}}^2$ から ${\mathbb{R}}^2$ への 1 対 1 の対応です。多変数の連鎖律より
$$u_t=v_{\xi }\frac{\partial \xi }{\partial t}+v_{\tau }\frac{\partial \tau }{\partial t}=-2v_{\xi }+v_{\tau },u_x=v_{\xi }\frac{\partial \xi }{\partial x}+v_{\tau }\frac{\partial \tau }{\partial x}=v_{\xi }.$$

手順 2：方程式を書き直す これらを代入すると
$$u_t+2u_x=(-2v_{\xi }+v_{\tau })+2v_{\xi }=v_{\tau }=0.$$
したがって、$\xi$ を固定するごとに $v$ は $\tau$ について定数です。よって $v$ は $\xi$ だけの関数で、ある $C^1$ 級関数 $f$ を用いて
$$u(x,t)=f(x-2t)$$
と表せます。

手順 3：初期条件で $f$ を決める $t=0$ とおくと $u(x,0)=f(x)$ です。条件 $u(x,0)=x^2+1$ より $f(x)=x^2+1$ がすべての実数 $x$ で成り立ちます。よって
$$u(x,t)=(x-2t{)}^2+1.$$

確認 $u_t=2(x-2t)\cdot (-2)=-4(x-2t)$、$u_x=2(x-2t)$ なので $u_t+2u_x=-4(x-2t)+4(x-2t)=0$ です。また $u(x,0)=x^2+1$ です。

解の意味 時刻 $t$ における $u$ のグラフは、初期値 $x^2+1$ のグラフを $x$ 軸の正の向きに $2t$ だけ平行移動したものです。初期値の形は変わらずに、速さ $2$ で右へ動きます。

答え：$u(x,t)=(x-2t{)}^2+1$

特性曲線法で解く。$u_t+2u_x=0$ は、直線 $x-2t=\text{const}$ に沿って $u$ が一定であることを意味する。実際、$\xi =x-2t$、$\tau =t$ と変数変換して $u(x,t)=v(\xi ,\tau )$ とおくと、$u_t=-2v_{\xi }+v_{\tau }$、$u_x=v_{\xi }$ なので $u_t+2u_x=v_{\tau }=0$ となる。よって $v$ は $\xi$ のみの関数 $f(\xi )$ であり、$u(x,t)=f(x-2t)$ と書ける。初期条件 $u(x,0)=f(x)=x^2+1$ より $f(s)=s^2+1$ なので、$u(x,t)=(x-2t{)}^2+1$ である。
検算：$u_t=-4(x-2t)$、$u_x=2(x-2t)$ より $u_t+2u_x=-4(x-2t)+4(x-2t)=0$。また $t=0$ で $u=x^2+1$ となり、初期条件も満たす。なお、$u$ が $C^1$ 級であれば解は一意に定まる。