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偏微分方程式の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学偏微分方程式

$u = u (x, t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$u_{t} + u u_{x} = - u (x \in R, t > 0), u (x, 0) = - 3 arctan x (x \in R)$
を考える。特性曲線の方法により、この問題は十分小さい $T > 0$ に対して $R \times [0, T)$ 上で $C^{1}$ 級の解（古典解）をただ 1 つもつ。
$T^{*} = sup {T > 0 ∣ R \times [0, T) 上で C^{1} 級の解が存在する}$
とおくとき、 $T^{*}$ を求めよ。ただし $T^{*} = \infty$ となる場合は $\infty$ と答えよ。

この問題で使うもの

特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
関数の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

特性曲線 $d x / d t = u$ に沿って $u$ がどう変化するかを調べ、特性曲線 $x = X (ξ, t)$ を初期点 $ξ$ と $t$ で表しましょう。

ヒント 2

特性曲線どうしが交わり始める時刻、すなわち $\partial X / \partial ξ = 1 + f^{'} (ξ) (1 - e^{- t})$ が初めて $0$ になる時刻が鍵です。

ヒント 3

$U = f (ξ) e^{- t}$ , $X = ξ + f (ξ) (1 - e^{- t})$ です。 $f^{'} (ξ) = - 3/ (1 + ξ^{2})$ の最小値は $ξ = 0$ での $- 3$ なので、 $1 - 3 (1 - e^{- t}) = 0$ を解けばよいです。

答えと解説

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lo g \frac{3}{2}

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解説を読む

特性曲線を求める. 初期点 $x = ξ$ から出る特性曲線を $x = X (ξ, t)$ 、その上での $u$ の値を $U (ξ, t)$ とすると、特性方程式は
$\frac{d X}{d t} = U, \frac{d U}{d t} = - U, X (ξ, 0) = ξ, U (ξ, 0) = f (ξ)$
である（ $f (ξ) = - 3 arctan ξ$ ）。第 2 式から $U (ξ, t) = f (ξ) e^{- t}$ 。これを第 1 式に代入して積分すると
$X (ξ, t) = ξ + f (ξ) (1 - e^{- t}) .$

古典解が存在する条件. 各 $t$ で写像 $ξ \mapsto X (ξ, t)$ が $R$ から $R$ への $C^{1}$ 微分同相であれば、 $u (X (ξ, t), t) = f (ξ) e^{- t}$ により $C^{1}$ 級の解が定まる。
$\frac{\partial X}{\partial ξ} = 1 + f^{'} (ξ) (1 - e^{- t}), f^{'} (ξ) = - \frac{3}{1 + ξ ^{2}} .$
また $f$ は有界なので $X (ξ, t) \to \pm \infty$ $(ξ \to \pm \infty)$ であり、 $\partial X / \partial ξ > 0$ が全ての $ξ$ で成り立てば $X (\cdot, t)$ は全単射になる。

$- 3 \leq f^{'} (ξ) < 0$ で、最小値 $- 3$ は $ξ = 0$ でとる。よって $0 \leq 1 - e^{- t} < \frac{1}{3}$ のとき、すべての $ξ$ で
$\frac{\partial X}{\partial ξ} \geq 1 - 3 (1 - e^{- t}) > 0$
となり、古典解が存在する。 $1 - e^{- t} < \frac{1}{3} ⟺ e^{- t} > \frac{2}{3} ⟺ t < lo g \frac{3}{2}$ である。

勾配の爆発. 解の $x$ 微分は、 $\partial_{x} = (\partial X / \partial ξ)^{- 1} \partial_{ξ}$ より
$u_{x} (X (ξ, t), t) = \frac{f ^{'} ( ξ ) e ^{- t}}{1 + f ^{'} ( ξ ) ( 1 - e ^{- t} )} .$
$ξ = 0$ の特性曲線上では $u_{x} = \frac{- 3 e ^{- t}}{1 - 3 ( 1 - e ^{- t} )} = \frac{- 3 e ^{- t}}{3 e ^{- t} - 2}$ であり、 $t ↑ lo g \frac{3}{2}$ のとき分母 $\to 0^{+}$ 、分子 $\to - 2$ なので $u_{x} \to - \infty$ となる。したがって $C^{1}$ 解は $t = lo g \frac{3}{2}$ を越えて（さらにはこの時刻まで閉じた形でも）延長できない。なお、 $C^{1}$ 解が存在する範囲では、解は特性曲線に沿って上の式で与えられるものに一致するので、この結論は解の取り方によらない。

以上より
$T^{*} = lo g \frac{3}{2} .$

別解

特性曲線を考える。 $\frac{d x}{d t} = u$ 、 $\frac{d u}{d t} = - u$ であり、 $x (0) = ξ$ から出る特性曲線上で $u = u_{0} (ξ) e^{- t}$ 、ただし $u_{0} (ξ) = - 3 arctan ξ$ 。よって $\frac{d x}{d t} = u_{0} (ξ) e^{- t}$ を積分して $x = ξ + u_{0} (ξ) (1 - e^{- t})$ 。 $s = 1 - e^{- t} \in [0, 1)$ とおくと $x = ξ + s u_{0} (ξ)$ 。\n\n古典解が存在するための条件は、写像 $ξ \mapsto x = ξ + s u_{0} (ξ)$ が各 $t$ で微分同相であること、すなわち $\partial x / \partial ξ = 1 + s u_{0}^{'} (ξ) > 0$ がすべての $ξ$ で成り立つことである（ $u_{x} = \frac{u _{0}^{'} ( ξ ) e ^{- t}}{1 + s u _{0}^{'} ( ξ )}$ なので、 $1 + s u_{0}^{'} = 0$ となる点で $u_{x}$ が発散する）。\n\n $u_{0}^{'} (ξ) = - \frac{3}{1 + ξ ^{2}}$ であり、その最小値は $ξ = 0$ で $- 3$ 。 $1 + s u_{0}^{'} (ξ) = 1 - \frac{3 s}{1 + ξ ^{2}}$ が初めて 0 になるのは $s = \frac{1 + ξ ^{2}}{3}$ の最小値、すなわち $ξ = 0$ で $s = \frac{1}{3}$ のとき。これは $s < 1$ を満たす（ $s$ の取りうる範囲内）ので破綻は実際に起こる。\n\n $1 - e^{- t} = \frac{1}{3}$ より $e^{- t} = \frac{2}{3}$ 、 $t = lo g \frac{3}{2}$ 。\n\n検算: $t < lo g \frac{3}{2}$ なら $s < \frac{1}{3}$ で、すべての $ξ$ について $1 - \frac{3 s}{1 + ξ ^{2}} \geq 1 - 3 s > 0$ なので解は $C^{1}$ 。 $t = lo g \frac{3}{2}$ では $ξ = 0$ で $u_{x} = \frac{- 3 \cdot \frac{2}{3}}{0} \to - \infty$ となり $C^{1}$ 解は延長できない。よって $T^{*} = lo g \frac{3}{2}$ 。

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