この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

信号処理・通信工学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理信号処理・通信工学

入力 $x [n]$ と出力 $y [n]$ の関係が差分方程式
$y [n] = \frac{1}{4} (x [n] + x [n - 1] + x [n - 2] + x [n - 3])$
で表される離散時間 FIR フィルタ（4 点移動平均フィルタ）がある（ $n$ は整数）。このフィルタに、すべての整数 $n$ について定義された入力
$x [n] = 3 + 2 cos (\frac{π n}{3})$
を加える。伝達関数 $H (z)$ と周波数特性 $H (e^{j ω})$ を用いて出力 $y [n]$ を求め、 $n$ を整数全体で動かしたときの $y [n]$ の最大値を求めよ。答えは分数で表せ。

この問題で使うもの

z 変換と差分方程式の伝達関数（説明と入口の問題）
ディジタルフィルタの周波数特性（説明と入口の問題）
弧度法と単位円による三角関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

直流成分と正弦波成分に分け、それぞれに周波数特性 $H (e^{j ω})$ を掛けて出力を求める（重ね合わせ）。

ヒント 2

$H (z) = \frac{1}{4} (1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3}) = \frac{1}{4} \frac{1 - z ^{- 4}}{1 - z ^{- 1}}$ に $z = e^{j ω}$ を代入すると、 $H (e^{j ω}) = e^{- j 3 ω /2} \frac{s i n 2 ω}{4 s i n ( ω /2 )}$ となる。

ヒント 3

$H (1) = 1$ 、 $H (e^{j π /3}) = \frac{3}{4} e^{- j π /2}$ より、 $y [n] = 3 + \frac{3}{2} sin \frac{π n}{3}$ となる。 $n$ が整数であることに注意して、最大値を求める。

答えと解説

答えを見る

\frac{15}{4}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

伝達関数 差分方程式の両辺を z 変換すると $Y (z) = \frac{1}{4} (1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3}) X (z)$ なので
$H (z) = \frac{1}{4} (1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - z ^{- 4}}{1 - z ^{- 1}} .$

周波数特性 $z = e^{j ω}$ とおくと
$H (e^{j ω}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - e ^{- j 4 ω}}{1 - e ^{- j ω}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{e ^{- j 2 ω} ( 2 j sin 2 ω )}{e ^{- j ω /2} ( 2 j sin \frac{ω}{2} )} = e^{- j \frac{3 ω}{2}} \frac{sin 2 ω}{4 sin \frac{ω}{2}} .$

各成分への応答 線形時不変系では、入力 $cos (ω_{0} n)$ に対する出力は $∣ H (e^{j ω_{0}}) ∣ cos (ω_{0} n + ar g H (e^{j ω_{0}}))$ になる。入力はすべての $n$ で定義されているので過渡応答はなく、この関係がそのまま成り立つ。また、線形なので直流成分と正弦波成分の応答を別々に求めて足し合わせればよい。

- 直流成分（ $ω = 0$ ）: $H (1) = \frac{1}{4} (1 + 1 + 1 + 1) = 1$ 。よって $3$ はそのまま $3$ になる。
- $ω_{0} = \frac{π}{3}$ の成分: $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ 、 $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ より
$H (e^{j π /3}) = e^{- j \frac{π}{2}} \cdot \frac{\frac{3}{2}}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{4} e^{- j \frac{π}{2}} .$
振幅は $\frac{3}{4}$ 倍になり、位相は $\frac{π}{2}$ 遅れる。

したがって
$y [n] = 3 + 2 \cdot \frac{3}{4} cos (\frac{π n}{3} - \frac{π}{2}) = 3 + \frac{3}{2} sin (\frac{π n}{3}) .$

最大値 $n$ は整数なので、 $sin \frac{π n}{3}$ のとる値は $0, \pm \frac{3}{2}$ だけである。最大値は $\frac{3}{2}$ （ $n \equiv 1, 2 (mod 6)$ のとき）なので
$y_{m a x} = 3 + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = 3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4} .$

（検算） $n = 1$ のとき、差分方程式から直接計算する。 $x [1] = 3 + 2 cos \frac{π}{3} = 4$ 、 $x [0] = 3 + 2 = 5$ 、 $x [- 1] = 3 + 2 cos (- \frac{π}{3}) = 4$ 、 $x [- 2] = 3 + 2 cos (- \frac{2 π}{3}) = 2$ なので
$y [1] = \frac{1}{4} (4 + 5 + 4 + 2) = \frac{15}{4}$
となり、上の結果と一致する。

別解

伝達関数は $H (z) = \frac{1}{4} (1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3})$ 。周波数特性は $H (e^{j ω}) = \frac{1}{4} \sum_{k = 0}^{3} e^{- j ω k} = \frac{1}{4} e^{- j 3 ω /2} \frac{s i n 2 ω}{s i n ( ω /2 )}$ 。

・直流成分 $ω = 0$ : $H = 1$ なので、 $3$ はそのまま出力される。
・ $ω = π /3$ : $sin (2 π /3) = 3 /2$ 、 $sin (π /6) = 1/2$ より、比は $3$ で正。よって $∣ H ∣ = 3 /4$ 、位相は $- 3 ω /2 = - π /2$ 。

出力は
$y [n] = 3 + 2 \cdot \frac{3}{4} cos (\frac{π n}{3} - \frac{π}{2}) = 3 + \frac{3}{2} sin \frac{π n}{3}$ 。

整数 $n$ で $sin (π n /3)$ の最大値は $n \equiv 1 (mod 6)$ のとき $3 /2$ 。よって最大値は $3 + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = 3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ 。

検算: $x [- 2..1] = 2, 4, 5, 4$ で、 $y [1] = \frac{1}{4} (x [1] + x [0] + x [- 1] + x [- 2]) = \frac{1}{4} (4 + 5 + 4 + 2) = \frac{15}{4}$ 。一致する。

信号処理・通信工学の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題