信号処理・通信工学の問題

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{3}y[n-1]+\frac{2}{3}x[n]$$
で表される因果的な離散時間 IIR フィルタを考える（$n$ は整数、初期状態は $0$ とする）。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$ とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数、$j$ は虚数単位）とする。電力利得 $|H(e^{j\omega }){|}^2$ が直流（$\omega =0$）での値の $\frac{1}{2}$ になる正規化角周波数 $\omega$ を、$0<\omega <\pi$ の範囲で求めよ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=ay[n-1]+x[n]$$
で表される因果的な 1 次の IIR 低域通過フィルタを考える。ここで $n$ は整数、$a$ は $0<a<1$ を満たす実数の定数で、初期状態は $0$ とする。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数）とする。正規化角周波数 $\omega =\pi$ における振幅特性 $|H(e^{j\pi })|$ が、直流（$\omega =0$）における振幅特性 $|H(e^{j0})|$ の $\frac{1}{19}$ 倍になるような $a$ の値を求めよ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する因果的な離散時間の 1 次 IIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=ay[n-1]+(1-a)x[n]$$
で表される（$n$ は整数、$a$ は $0<a<1$ を満たす実数の定数、初期状態は $0$ とする）。このフィルタの直流（周波数 $0\text{Hz}$）での振幅特性は $1$ である。周波数 $2000\text{Hz}$ の正弦波入力に対する振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ がちょうど $\frac{1}{2}$ になるような $a$ の値を求めよ。ここで $\omega =2\pi f/f_s$ は正規化角周波数（単位は rad）、$H(z)$ はこのフィルタの伝達関数である。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{2}y[n-1]+x[n]+x[n-1]$$
で表される因果的な離散時間 IIR フィルタを考える（$n$ は整数、初期状態は 0 とする）。正規化角周波数を $\omega$（$0\le \omega \le \pi$、単位は rad）とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$j$ は虚数単位）とする。振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ がちょうど $1$ になる $\omega$ を、逆三角関数を用いた正確な値で求めよ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]$$
で表される（$n$ は整数）。このフィルタに、周波数 $f=1000\text{Hz}$ の連続時間正弦波を標本化した信号
$$x[n]=\cos \left(\frac{2\pi f}{f_s}n\right)(-\infty <n<\infty )$$
を入力したとき、出力 $y[n]$ も同じ周波数の正弦波になる。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、周波数特性 $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数）を用いて、出力 $y[n]$ の振幅を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。