信号処理・通信工学の問題

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{4}\left(x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]\right)$$
で表される離散時間 FIR フィルタ（4 点移動平均フィルタ）がある（$n$ は整数）。このフィルタに、すべての整数 $n$ について定義された入力
$$x[n]=3+2\cos \left(\frac{\pi n}{3}\right)$$
を加える。伝達関数 $H(z)$ と周波数特性 $H(e^{j\omega })$ を用いて出力 $y[n]$ を求め、$n$ を整数全体で動かしたときの $y[n]$ の最大値を求めよ。答えは分数で表せ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあります。入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は、差分方程式
$$y[n]=c\left(x[n]+bx[n-1]+x[n-2]\right)$$
で表されます（$n$ は整数）。ここで $b$, $c$ は実数の定数で、$c>0$ とします。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$ とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$ で表します。$j$ は虚数単位、$\omega =\frac{2\pi f}{f_s}$ は正規化角周波数、$f$ は周波数（単位は Hz）です。定数 $b$, $c$ は、次の 2 つの条件を満たすように決めます。

• 周波数 $1000\text{Hz}$ の正弦波成分を完全に除去する。すなわち、この周波数で $|H(e^{j\omega })|=0$ となる。
• 直流（$f=0$）での利得が $1$ である。すなわち $H(e^{j0})=1$ となる。

このとき、周波数 $4000\text{Hz}$ での振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を、根号を用いた正確な値で求めてください。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=x[n]-x[n-1]+x[n-2]$$
で表される離散時間の FIR フィルタを考える（$n$ は整数）。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、$z=e^{j\omega }$ を代入して周波数特性 $H(e^{j\omega })$ を得る。ここで $j$ は虚数単位、$\omega$ は正規化角周波数（単位 rad/sample）である。

$0\le \omega \le \pi$ の範囲で振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ が $0$ となる $\omega$ を求めよ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する因果的な離散時間の 1 次 IIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=ay[n-1]+(1-a)x[n]$$
で表される（$n$ は整数、$a$ は $0<a<1$ を満たす実数の定数、初期状態は $0$ とする）。このフィルタの直流（周波数 $0\text{Hz}$）での振幅特性は $1$ である。周波数 $2000\text{Hz}$ の正弦波入力に対する振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ がちょうど $\frac{1}{2}$ になるような $a$ の値を求めよ。ここで $\omega =2\pi f/f_s$ は正規化角周波数（単位は rad）、$H(z)$ はこのフィルタの伝達関数である。

標本化周波数 $f_s=6000\text{Hz}$ で動作する因果的な離散時間フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=-\frac{4}{9}y[n-2]+K(x[n]+x[n-2])$$
で表される（$n$ は整数、$K$ は正の実定数、初期状態は $0$ とする）。このフィルタの伝達関数を $H(z)$、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega =2\pi f/f_s$ は正規化角周波数、$f$ は入力の周波数）とする。

直流（$f=0$）での振幅特性 $|H(e^{j0})|$ が $1$ になるように $K$ を定めたとき、周波数 $f=750\text{Hz}$ での振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を、根号を含む正確な値で求めよ。