信号処理・通信工学の問題

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=ay[n-1]+x[n]$$
で表される因果的な 1 次の IIR 低域通過フィルタを考える。ここで $n$ は整数、$a$ は $0<a<1$ を満たす実数の定数で、初期状態は $0$ とする。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数）とする。正規化角周波数 $\omega =\pi$ における振幅特性 $|H(e^{j\pi })|$ が、直流（$\omega =0$）における振幅特性 $|H(e^{j0})|$ の $\frac{1}{19}$ 倍になるような $a$ の値を求めよ。

標本化周波数 $f_s=6000\text{Hz}$ で動作する因果的な離散時間フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=-\frac{4}{9}y[n-2]+K(x[n]+x[n-2])$$
で表される（$n$ は整数、$K$ は正の実定数、初期状態は $0$ とする）。このフィルタの伝達関数を $H(z)$、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega =2\pi f/f_s$ は正規化角周波数、$f$ は入力の周波数）とする。

直流（$f=0$）での振幅特性 $|H(e^{j0})|$ が $1$ になるように $K$ を定めたとき、周波数 $f=750\text{Hz}$ での振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を、根号を含む正確な値で求めよ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=x[n]-x[n-1]+x[n-2]$$
で表される離散時間の FIR フィルタを考える（$n$ は整数）。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、$z=e^{j\omega }$ を代入して周波数特性 $H(e^{j\omega })$ を得る。ここで $j$ は虚数単位、$\omega$ は正規化角周波数（単位 rad/sample）である。

$0\le \omega \le \pi$ の範囲で振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ が $0$ となる $\omega$ を求めよ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあります。入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は、差分方程式
$$y[n]=c\left(x[n]+bx[n-1]+x[n-2]\right)$$
で表されます（$n$ は整数）。ここで $b$, $c$ は実数の定数で、$c>0$ とします。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$ とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$ で表します。$j$ は虚数単位、$\omega =\frac{2\pi f}{f_s}$ は正規化角周波数、$f$ は周波数（単位は Hz）です。定数 $b$, $c$ は、次の 2 つの条件を満たすように決めます。

• 周波数 $1000\text{Hz}$ の正弦波成分を完全に除去する。すなわち、この周波数で $|H(e^{j\omega })|=0$ となる。
• 直流（$f=0$）での利得が $1$ である。すなわち $H(e^{j0})=1$ となる。

このとき、周波数 $4000\text{Hz}$ での振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を、根号を用いた正確な値で求めてください。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{3}y[n-1]+\frac{2}{3}x[n]$$
で表される因果的な離散時間 IIR フィルタを考える（$n$ は整数、初期状態は $0$ とする）。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$ とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数、$j$ は虚数単位）とする。電力利得 $|H(e^{j\omega }){|}^2$ が直流（$\omega =0$）での値の $\frac{1}{2}$ になる正規化角周波数 $\omega$ を、$0<\omega <\pi$ の範囲で求めよ。