ディジタルフィルタの周波数特性

$H (z)$ に $z = e^{j ω}$ を代入して周波数特性 $H (e^{j ω})$ を求め、FIR・IIR フィルタの振幅特性 $∣ H (e^{j ω}) ∣$ の値や、振幅が $0$ や指定の値になる $ω$ を求められる

前提

z 変換と差分方程式の伝達関数（大学物理信号処理・通信工学）
オイラーの公式（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）

説明

ディジタルフィルタに正弦波の列を入れると、安定な系なら出力も同じ周波数の正弦波の列になり、振幅と位相だけが変わります。その変わり方を表すのが周波数特性 $H (e^{j ω})$ で、伝達関数 $H (z)$ に $z = e^{j ω}$ を代入するだけで得られます（ $j$ は虚数単位、 $ω$ は 1 標本あたりの角度で表した正規化角周波数）。振幅特性 $∣ H (e^{j ω}) ∣$ を計算すれば、ある周波数の成分が何倍になるか、どの周波数が完全に消されるかがわかり、低域・高域通過フィルタやノッチフィルタの設計と確認に使います。

なぜそうしてよいのか

入力として複素指数の列 $x [n] = e^{j ω n}$ を考えます。系のインパルス応答を $h [k]$ （ $H (z) = \sum_{k} h [k] z^{- k}$ ）とすると、出力は畳み込みで
$y [n] = k \sum h [k] e^{j ω (n - k)} = (k \sum h [k] (e^{j ω})^{- k}) e^{j ω n} = H (e^{j ω}) e^{j ω n}$
となります。つまり $e^{j ω n}$ は形を変えずに複素数 $H (e^{j ω})$ 倍されるだけです。この和が収束するには、 $z$ が単位円 $∣ z ∣ = 1$ 上にあっても $H (z)$ が意味をもつこと、すなわち因果的な系なら極がすべて単位円の内側にある（安定である）ことが必要です。オイラーの公式から $cos (ω n) = \frac{e ^{j ω n} + e ^{- j ω n}}{2}$ なので、係数が実数のフィルタでは、振幅 $A$ の $cos (ω n)$ を入れると振幅 $A ∣ H (e^{j ω}) ∣$ の正弦波が出てきます。

$e^{j ω}$ は $ω$ について周期 $2 π$ で、係数が実数なら $∣ H (e^{- j ω}) ∣ = ∣ H (e^{j ω}) ∣$ なので、ふつうは $0 \leq ω \leq π$ の範囲だけを調べます（ $ω = 0$ が直流、 $ω = π$ が標本化周波数の半分）。

図形的には、 $H (z)$ の分子・分母を因数分解すると、 $∣ H (e^{j ω}) ∣$ は「単位円上の点 $e^{j ω}$ から各零点までの距離の積」を「各極までの距離の積」で割ったもの（に定数を掛けたもの）になります。零点が単位円上にあれば、そこで振幅はちょうど 0 になります。たとえば $y [n] = x [n] + x [n - 2]$ では $H (e^{j ω}) = 1 + e^{- j 2 ω} = e^{- j ω} (e^{j ω} + e^{- j ω}) = 2 cos ω e^{- j ω}$ より $∣ H ∣ = 2∣ cos ω ∣$ で、 $ω = \frac{π}{2}$ で 0 になります。

手順

差分方程式を z 変換して伝達関数 $H (z)$ を求め、IIR なら極がすべて単位円の内側にある（安定）ことを確かめる
$z = e^{j ω}$ を代入し、 $z^{- k} \to e^{- j k ω}$ として $H (e^{j ω})$ を書く
オイラーの公式で $e^{- j k ω} = cos k ω - j sin k ω$ と実部・虚部に分ける（FIR では $e^{- j ω}$ などをくくり出して実数の三角関数にまとめると楽になる）
複素数の絶対値 $∣ a + j b ∣ = a^{2} + b^{2}$ 、商の絶対値 $\frac{P}{Q} = \frac{∣ P ∣}{∣ Q ∣}$ を使って $∣ H (e^{j ω}) ∣$ を求める
振幅が 0 や指定の値になる $ω$ を求めるときは、 $∣ H (e^{j ω}) ∣$ （または $∣ H ∣^{2}$ ）の式を $0 \leq ω \leq π$ で解く

例題

差分方程式 $y [n] = \frac{1}{2} y [n - 1] + x [n]$ で表される因果的なディジタルフィルタがある。正規化角周波数 $ω = \frac{π}{3}$ における振幅特性 $∣ H (e^{j ω}) ∣$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1：z 変換すると $Y (z) = \frac{1}{2} z^{- 1} Y (z) + X (z)$ より
$H (z) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2} z ^{- 1}}$
極は $z = \frac{1}{2}$ で単位円の内側にあるので、系は安定であり $z = e^{j ω}$ を代入してよい。

手順 2： $H (e^{j ω}) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2} e ^{- j ω}}$ 。

手順 3： $ω = \frac{π}{3}$ で $e^{- j π /3} = cos \frac{π}{3} - j sin \frac{π}{3} = \frac{1}{2} - j \frac{3}{2}$ 。よって分母は
$1 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - j \frac{3}{2}) = \frac{3}{4} + j \frac{3}{4}$

手順 4：分母の絶対値は $\frac{9}{16} + \frac{3}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{2}$ 。したがって
$∣ H (e^{j π /3}) ∣ = \frac{1}{3 /2} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}$

答え: $\frac{2 3}{3}$

よくある誤り

複素数の絶対値を実部だけで計算してしまう誤り。例えば $∣1 - \frac{1}{2} e^{- j π /3} ∣$ を $1 - \frac{1}{2} cos \frac{π}{3} = \frac{3}{4}$ としてしまう。正しくは虚部も含めて $\frac{3}{4} + j \frac{3}{4} = \frac{9}{16} + \frac{3}{16} = \frac{3}{2}$
$∣1 - a e^{- j ω} ∣$ を $∣1∣ - ∣ a ∣ = 1 - a$ のように、絶対値の差に分けてしまう誤り。正しくは $∣1 - a e^{- j ω} ∣ = (1 - a cos ω)^{2} + (a sin ω)^{2} = 1 - 2 a cos ω + a^{2}$
FIR の振幅を、まとめた実数の式の符号まで含めて答えてしまう誤り。例えば $H (e^{j ω}) = 2 cos ω e^{- j ω}$ で $ω = \frac{2 π}{3}$ のとき振幅を $2 cos \frac{2 π}{3} = - 1$ とする。正しくは絶対値をとって $∣ H ∣ = 2∣ cos ω ∣ = 1$
極が単位円の外側にある（不安定な）因果的な系にも $z = e^{j ω}$ を代入して周波数特性としてしまう誤り。正しくは、極がすべて $∣ z ∣ < 1$ のときにだけ、正弦波入力に対する定常的な出力の倍率として $H (e^{j ω})$ が意味をもつ

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
入力 $x [n]$ 、出力 $y [n]$ の因果的なディジタルフィルタが、差分方程式
$y [n] = \frac{1}{2} y [n - 1] + x [n]$
で表される。このフィルタの伝達関数は $H (z) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2} z ^{- 1}}$ である。ここで $j$ は虚数単位、 $ω$ は正規化角周波数（単位は rad/サンプル）とする。
正規化角周波数 $ω = \frac{π}{2}$ における振幅特性 $∣ H (e^{j ω}) ∣$ の値を求めよ。根号を用いた正確な値で答えよ。

ディジタルフィルタの周波数特性

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題