信号処理・通信工学の問題

安定性の確認

分母を $z^2$ 倍した $z^2-z+\frac{1}{2}=0$ を解くと $z=\frac{1\pm j}{2}$ であり、極の絶対値は $\frac{1}{\sqrt{2}}<1$。因果的なフィルタで極がすべて単位円の内側にあるので安定であり、周波数特性 $H(e^{j\omega })$ が存在し、インパルス応答は二乗総和可能である。

パーセバルの定理

インパルス応答を $g[n]$ とすると、$H(e^{j\omega })={\sum }_{n}g[n]e^{-j\omega n}$ であり、パーセバルの定理より
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|H(e^{j\omega }){|}^{2}d\omega =\sum _{n=0}^{\infty }g[n{]}^2$$
が成り立つ。そこで $g[n]$ を求める。

全極部分のインパルス応答

$H_0(z)=\frac{1}{1-z^{-1}+\frac{1}{2}{z}^{-2}}$ のインパルス応答 $h[n]$ は差分方程式
$$h[n]=h[n-1]-\frac{1}{2}h[n-2]+\delta [n](h[-1]=h[-2]=0)$$
を満たすので、順に
$$h[0]=1,h[1]=1,h[2]=\frac{1}{2},h[3]=0,h[4]=-\frac{1}{4},h[5]=-\frac{1}{4},h[6]=-\frac{1}{8},h[7]=0,\dots$$
となる。極が $\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{\pm j\pi /4}$ なので一般に $h[n]=\sqrt{2}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^n\sin \frac{(n+1)\pi }{4}$ であり、${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^4=\frac{1}{4}$、$\sin \left(\theta +\pi \right)=-\sin \theta$ より
$$h[n+4]=-\frac{1}{4}h[n]$$
が成り立つ。

全体のインパルス応答

$H(z)=(1+z^{-1})H_0(z)$ なので $g[n]=h[n]+h[n-1]$ であり
$$g[0]=1,g[1]=2,g[2]=\frac{3}{2},g[3]=\frac{1}{2},$$
また $g[n+4]=h[n+4]+h[n+3]=-\frac{1}{4}(h[n]+h[n-1])=-\frac{1}{4}g[n]$（$n\ge 0$。$n=0$ では $h[3]=0=h[-1]$ を使う）。

二乗和

最初の 4 項の二乗和は
$$1+4+\frac{9}{4}+\frac{1}{4}=\frac{15}{2}$$
で、4 項ごとに二乗和は ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$ 倍になる。よって
$$\sum _{n=0}^{\infty }g[n{]}^2=\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{16}}=\frac{15}{2}\cdot \frac{16}{15}=8$$

（検算: $H_0$ について $\sum h^2=\frac{9/4}{15/16}=\frac{12}{5}$、$\sum h[n]h[n+1]=\frac{3/2}{15/16}=\frac{8}{5}$ なので $\sum g^2=2\cdot \frac{12}{5}+2\cdot \frac{8}{5}=8$ となり一致する。）

したがって求める値は $8$ である。

極は $z^2-z+\frac{1}{2}=0$ より $z=\frac{1\pm j}{2}$、$|z|=\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ なので因果的フィルタは安定。パーセバルの定理より求める値は ${\sum }_{n\ge 0}h[n{]}^2$（$h$ はインパルス応答）。

白色雑音（分散 $1$）入力で計算する。$v[n]=v[n-1]-\frac{1}{2}v[n-2]+x[n]$ とおくと $y[n]=v[n]+v[n-1]$。$v$ の自己共分散 ${\gamma }_k$ はユール・ウォーカー方程式
${\gamma }_1={\gamma }_0-\frac{1}{2}{\gamma }_1\Rightarrow {\gamma }_1=\frac{2}{3}{\gamma }_0$、
${\gamma }_2={\gamma }_1-\frac{1}{2}{\gamma }_0=\frac{1}{6}{\gamma }_0$、
${\gamma }_0={\gamma }_1-\frac{1}{2}{\gamma }_2+1=\frac{2}{3}{\gamma }_0-\frac{1}{12}{\gamma }_0+1\Rightarrow \frac{5}{12}{\gamma }_0=1$、
よって ${\gamma }_0=\frac{12}{5}$、${\gamma }_1=\frac{8}{5}$。

$\mathrm{Var}(y)=2{\gamma }_0+2{\gamma }_1=\frac{24}{5}+\frac{16}{5}=8$。

検算（インパルス応答）: $h[n]=h[n-1]-\frac{1}{2}h[n-2]+\delta [n]+\delta [n-1]$ より $h=1,2,\frac{3}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{2},-\frac{3}{8},-\frac{1}{8},\dots$。$z^4$ の極の値は ${\left(\frac{1\pm j}{2}\right)}^4=-\frac{1}{4}$ なので $h[n+4]=-\frac{1}{4}h[n]$（$n\ge 1$ で成立、$n=0$ でも $h[4]=-\frac{1}{4}$ で成立）。よって $\sum h^2=(1+4+\frac{9}{4}+\frac{1}{4})\cdot \frac{1}{1-1/16}=\frac{15}{2}\cdot \frac{16}{15}=8$ で一致。