信号処理・通信工学の問題

方針 $|X[k]{|}^2$ を、ある系列（循環自己相関）の DFT とみなし、その系列にパーセバルの定理を使う。

1. 循環自己相関と $|X[k]{|}^2$ の関係
$(\cdot {)}_N$ を $N$ を法とする剰余として、循環自己相関を
$$r[m]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\overline{x[(n-m{)}_N]}(m=0,1,\dots ,N-1)$$
と定める。その DFT を計算する。$l=(n-m{)}_N$ とおくと、$m\equiv n-l(\mathrm{mod}N)$ であり、$e^{-j2\pi km/N}$ は周期 $N$ をもつので
$$R[k]=\sum _{m=0}^{N-1}r[m]e^{-j2\pi km/N}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{l=0}^{N-1}x[n]\overline{x[l]}{e}^{-j2\pi k(n-l)/N}=X[k]\overline{X[k]}=|X[k]{|}^2$$
となる。

2. パーセバルの定理
DFT のパーセバルの定理 ${\sum }_k|R[k]{|}^2=N{\sum }_m|r[m]{|}^2$ より
$$S=\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]{|}^4=\sum _{k=0}^{N-1}|R[k]{|}^2=N\sum _{m=0}^{N-1}|r[m]{|}^2$$
である。

3. $r[m]$ の計算
$0\le m\le N-1$ とする。
- $n\ge m$ のとき（$N-m$ 個）：$(n-m{)}_N=n-m$ なので、$x[n]\overline{x[n-m]}=e^{j\pi n/N}{e}^{-j\pi (n-m)/N}=e^{j\pi m/N}$。
- $n<m$ のとき（$m$ 個）：$(n-m{)}_N=n-m+N$ なので、$x[n]\overline{x[n-m+N]}=e^{j\pi (m-N)/N}=e^{j\pi m/N}{e}^{-j\pi }=-e^{j\pi m/N}$。

よって
$$r[m]=(N-m)e^{j\pi m/N}-m{e}^{j\pi m/N}=(N-2m)e^{j\pi m/N},|r[m]{|}^2=(N-2m{)}^2$$
である。

4. 和の計算
$$\sum _{m=0}^{N-1}(N-2m{)}^2=N^3-4N\sum _{m=0}^{N-1}m+4\sum _{m=0}^{N-1}{m}^2$$
$$=N^3-4N\cdot \frac{N(N-1)}{2}+4\cdot \frac{(N-1)N(2N-1)}{6}$$
$$=N^3-2N^3+2N^2+\frac{2}{3}(2N^3-3N^2+N)=\frac{N^3}{3}+\frac{2N}{3}=\frac{N(N^2+2)}{3}$$

したがって
$$S=N\cdot \frac{N(N^2+2)}{3}=\frac{N^2(N^2+2)}{3}$$
となる。

検算 1（$N=2$） $x=(1,j)$ より $X[0]=1+j$、$X[1]=1-j$ である。$|X[k]{|}^4=4$ なので $S=8$ となり、公式の値 $\frac{4\cdot 6}{3}=8$ と一致する。

検算 2（直接計算） 等比級数の和より
$$X[k]=\frac{1-e^{j\pi (1-2k)}}{1-e^{j\pi (1-2k)/N}}=\frac{2}{1-e^{j\pi (1-2k)/N}}$$
であり、$|1-e^{j\theta }|=2\left|\sin \frac{\theta }{2}\right|$ を使うと
$$|X[k]{|}^2=\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi (2k-1)}{2N}}$$
を得る。これはビンの間にある周波数成分が全ビンへ漏れ出すスペクトル漏れを表している。上の結果は、恒等式 $\sum _{k=0}^{N-1}{\sin }^{-4}\frac{\pi (2k-1)}{2N}=\frac{N^2(N^2+2)}{3}$ と同じ内容である。

$X[k]={\sum }_{n=0}^{N-1}{e}^{j\pi n(1-2k)/N}$ は等比級数なので、${\theta }_k=\pi (1-2k)/N$ とおくと $X[k]=\frac{1-e^{j\pi (1-2k)}}{1-e^{j{\theta }_k}}=\frac{2}{1-e^{j{\theta }_k}}$ となる。ここで $e^{j\pi (1-2k)}=-1$ を用いた。

$|1-e^{j\theta }{|}^2=4{\sin }^2(\theta /2)$ より $|X[k]{|}^2=\frac{1}{{\sin }^2(\pi (2k-1)/(2N))}$。したがって $S={\sum }_{k=0}^{N-1}{\csc }^4\frac{(2k-1)\pi }{2N}$。

${\csc }^4$ は偶関数で周期 $\pi$ なので、$k=0$ の項（角 $-\pi /(2N)$）は角 $(2N-1)\pi /(2N)$ の項に等しい。よって角は $(2m+1)\pi /(2N)$（$m=0,\dots ,N-1$）のすべてになり、
$$S=\sum _{m=0}^{N-1}{\csc }^4\frac{(2m+1)\pi }{2N}=\frac{N^2(N^2+2)}{3}.$$

この閉じた形は既知の公式として用い、導出はしていない。小さい $N$ で検算した。
- $N=1$: 和は $1$、式は $1\cdot 3/3=1$ で一致。
- $N=2$: 角 $\pi /4,3\pi /4$ でそれぞれ ${\csc }^4=4$ なので和は $8$、式は $4\cdot 6/3=8$ で一致。
- $N=3$: 角 $\pi /6,\pi /2,5\pi /6$ で $16+1+16=33$、式は $9\cdot 11/3=33$ で一致。