信号処理・通信工学の問題

長さ $4$ の離散時間信号
$$x[0]=1,x[1]=2,x[2]=0,x[3]=-1$$
の $4$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{3}x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{4}}(k=0,1,2,3)$$
で定義する（$j$ は虚数単位）。$X[1]$ を $a+bj$（$a,b$ は実数）の形で求めよ。

長さ $N=4$ の離散信号
$$x[0]=1,x[1]=2,x[2]=0,x[3]=1$$
の離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{3}x[n]e^{-j2\pi kn/4}(k=0,1,2,3)$$
で定める。ここで $j$ は虚数単位である。$X[1]$ の値を求めよ。

長さ $8$ の実数値の離散時間信号 $x[n]$（$n=0,1,\dots ,7$）の $8$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{7}x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{8}}(k=0,1,\dots ,7)$$
と定義する（$j$ は虚数単位）。$X[k]$ のうち $k=0,1,2,3,4$ の値が
$$X[0]=8,X[1]=2-2j,X[2]=4j,X[3]=1+j,X[4]=-2$$
であることがわかっている。$x[n]$ とそれ自身との $8$ 点巡回畳み込み
$$y[n]=\sum _{m=0}^{7}x[m]x[(n-m)\mathrm{mod}8](n=0,1,\dots ,7)$$
について、$\sum _{n=0}^{7}y[n{]}^2$ の値を求めよ。

$N$ を $2$ 以上の整数とする。長さ $N$ の系列
$$x[n]=n(n=0,1,\dots ,N-1)$$
の $N$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定義する（$j$ は虚数単位）。直流成分を除いたスペクトルのエネルギーの和
$$\sum _{k=1}^{N-1}|X[k]{|}^2$$
を $N$ の式で求めよ。

$N$ を $2$ 以上の整数とし、$j$ を虚数単位とする。周波数が DFT のビン間隔のちょうど半分である複素正弦波系列
$$x[n]=e^{j\pi n/N}(n=0,1,\dots ,N-1)$$
を考え、その $N$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。このとき
$$S=\sum _{k=0}^{N-1}{\left|X[k]\right|}^4$$
を $N$ の式で求めよ。