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信号処理・通信工学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理信号処理・通信工学

$N$ を $2$ 以上の整数とする。長さ $N$ の系列
$x [n] = n (n = 0, 1, \dots, N - 1)$
の $N$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$X [k] = n = 0 \sum N - 1 x [n] e^{- j 2 π k n / N} (k = 0, 1, \dots, N - 1)$
で定義する（ $j$ は虚数単位）。直流成分を除いたスペクトルのエネルギーの和
$k = 1 \sum N - 1 ∣ X [k] ∣^{2}$
を $N$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

離散フーリエ変換（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

個々の $X [k]$ を計算しなくても、DFT のパーセバルの等式を使えば全エネルギーがわかる。

ヒント 2

この定義では $\sum_{k = 0}^{N - 1} ∣ X [k] ∣^{2} = N \sum_{n = 0}^{N - 1} ∣ x [n] ∣^{2}$ 。全体から直流成分 $∣ X [0] ∣^{2}$ を引けばよい。

ヒント 3

$\sum n^{2} = \frac{( N - 1 ) N ( 2 N - 1 )}{6}$ 、 $X [0] = \frac{N ( N - 1 )}{2}$ 。これらを使って差を計算し、因数分解する。

答えと解説

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\frac{N ^{2} ( N ^{2} - 1 )}{12}

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解説を読む

DFT のパーセバルの等式
この定義の DFT では
$k = 0 \sum N - 1 ∣ X [k] ∣^{2} = N n = 0 \sum N - 1 ∣ x [n] ∣^{2}$
が成り立つ（ $e^{- j 2 π k n / N}$ の直交性 $\sum_{k = 0}^{N - 1} e^{j 2 π k (n - m) / N} = N δ_{nm}$ から導かれる）。

全エネルギー
$N n = 0 \sum N - 1 n^{2} = N \cdot \frac{( N - 1 ) N ( 2 N - 1 )}{6} = \frac{N ^{2} ( N - 1 ) ( 2 N - 1 )}{6}$

直流成分
$X [0] = n = 0 \sum N - 1 n = \frac{N ( N - 1 )}{2} ⟹ ∣ X [0] ∣^{2} = \frac{N ^{2} ( N - 1 ) ^{2}}{4}$

差をとる
$k = 1 \sum N - 1 ∣ X [k] ∣^{2} = \frac{N ^{2} ( N - 1 ) ( 2 N - 1 )}{6} - \frac{N ^{2} ( N - 1 ) ^{2}}{4} = N^{2} (N - 1) \cdot \frac{2 ( 2 N - 1 ) - 3 ( N - 1 )}{12} = \frac{N ^{2} ( N - 1 ) ( N + 1 )}{12}$
すなわち
$k = 1 \sum N - 1 ∣ X [k] ∣^{2} = \frac{N ^{2} ( N ^{2} - 1 )}{12}$

（別解: $W = e^{- j 2 π k / N}$ （ $k \neq = 0$ で $W \neq = 1$ , $W^{N} = 1$ ）とおくと $S = \sum n W^{n}$ について $(1 - W) S = \sum_{n = 1}^{N - 1} W^{n} - (N - 1) W^{N} = - 1 - (N - 1) = - N$ より $X [k] = \frac{- N}{1 - W}$ 。 $∣1 - W ∣ = 2 sin \frac{π k}{N}$ なので $∣ X [k] ∣^{2} = \frac{N ^{2}}{4 sin ^{2} ( π k / N )}$ 。公式 $\sum_{k = 1}^{N - 1} \frac{1}{sin ^{2} ( π k / N )} = \frac{N ^{2} - 1}{3}$ を使っても同じ結果になる。）

例えば $N = 8$ のとき $\frac{64 \times 63}{12} = 336$ である。

別解

パーセバルの定理（この DFT の定義では $\sum_{k = 0}^{N - 1} ∣ X [k] ∣^{2} = N \sum_{n = 0}^{N - 1} ∣ x [n] ∣^{2}$ ）より
$k = 0 \sum N - 1 ∣ X [k] ∣^{2} = N n = 0 \sum N - 1 n^{2} = N \cdot \frac{( N - 1 ) N ( 2 N - 1 )}{6} = \frac{N ^{2} ( N - 1 ) ( 2 N - 1 )}{6} .$
直流成分は $X [0] = \sum_{n = 0}^{N - 1} n = \frac{N ( N - 1 )}{2}$ なので $∣ X [0] ∣^{2} = \frac{N ^{2} ( N - 1 ) ^{2}}{4}$ 。

よって
$k = 1 \sum N - 1 ∣ X [k] ∣^{2} = \frac{N ^{2} ( N - 1 ) ( 2 N - 1 )}{6} - \frac{N ^{2} ( N - 1 ) ^{2}}{4} = \frac{N ^{2} ( N - 1 ) { 2 ( 2 N - 1 ) - 3 ( N - 1 )}}{12} = \frac{N ^{2} ( N - 1 ) ( N + 1 )}{12} = \frac{N ^{2} ( N ^{2} - 1 )}{12} .$

検算: $N = 2$ では $x = (0, 1)$ 、 $X [1] = 0 - 1 = - 1$ で和は $1$ 。式は $\frac{4 \cdot 3}{12} = 1$ で一致。 $N = 3$ では $X [1] = e^{- j 2 π /3} + 2 e^{- j 4 π /3}$ 、 $∣ X [1] ∣^{2} = 1 + 4 + 2 \cdot 2 cos (2 π /3) = 3$ 、 $∣ X [2] ∣^{2} = 3$ で和 $6$ 。式は $\frac{9 \cdot 8}{12} = 6$ で一致。

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