信号処理・通信工学の問題

1. 残りの DFT 値（実信号の共役対称性）

$x[n]$ は実数なので、$X[N-k]=\overline{X[k]}$（$N=8$）が成り立つ。実際、
$$X[8-k]=\sum _{n=0}^{7}x[n]e^{-j\frac{2\pi (8-k)n}{8}}=\sum _{n=0}^{7}x[n]e^{j\frac{2\pi kn}{8}}=\overline{X[k]}$$
である（$e^{-j2\pi n}=1$ と $x[n]$ が実数であることを使った）。よって
$$X[5]=\overline{X[3]}=1-j,X[6]=\overline{X[2]}=-4j,X[7]=\overline{X[1]}=2+2j$$
となり、$|X[k]|$ について $|X[8-k]|=|X[k]|$ が成り立つ。

2. 巡回畳み込み定理

$8$ 点巡回畳み込みの DFT は各 DFT の積になるので、$y[n]$ の DFT を $Y[k]$ とすると
$$Y[k]=X[k{]}^2,|Y[k]{|}^2=|X[k]{|}^4$$
である。

3. パーセバルの定理

この DFT の定義では
$$\sum _{n=0}^7|y[n]{|}^2=\frac{1}{8}\sum _{k=0}^7|Y[k]{|}^2$$
が成り立つ。$y[n]$ は実数なので $|y[n]{|}^2=y[n{]}^2$ である。

各 $|X[k]{|}^2$ は
$$|X[0]{|}^2=64,|X[1]{|}^2=2^2+2^2=8,|X[2]{|}^2=16,|X[3]{|}^2=1+1=2,|X[4]{|}^2=4$$
なので、$|X[k]{|}^4$ は順に $4096,64,256,4,16$ である。$k=5,6,7$ は $k=3,2,1$ と同じ値なので
$$\sum _{k=0}^7|X[k]{|}^4=4096+2(64+256+4)+16=4096+648+16=4760$$

したがって
$$\sum _{n=0}^{7}y[n{]}^2=\frac{4760}{8}=595$$

巡回畳み込みの DFT は積になるので $Y[k]=X[k{]}^2$。パーセバルの等式より ${\sum }_{n=0}^{7}y[n{]}^2=\frac{1}{8}{\sum }_{k=0}^7|Y[k]{|}^2=\frac{1}{8}{\sum }_{k=0}^7|X[k]{|}^4$。
$x[n]$ は実数なので $X[8-k]=\overline{X[k]}$（$X[5]=\overline{X[3]}$、$X[6]=\overline{X[2]}$、$X[7]=\overline{X[1]}$）。
$|X[0]{|}^2=64$ より $|X[0]{|}^4=4096$。$|X[1]{|}^2=8$ より $|X[1]{|}^4=64$（$k=1,7$ で計 128）。$|X[2]{|}^2=16$ より $|X[2]{|}^4=256$（$k=2,6$ で計 512）。$|X[3]{|}^2=2$ より $|X[3]{|}^4=4$（$k=3,5$ で計 8）。$|X[4]{|}^2=4$ より $|X[4]{|}^4=16$。
合計 $=4096+128+512+8+16=4760$。よって $\frac{4760}{8}=595$。
検算: $y[n]$ は実数で、$\sum y[n]=Y[0]=64$ などと矛盾せず、パーセバルの等式 $\sum |y{|}^2=\frac{1}{8}\sum |Y{|}^2$ をそのまま適用した。