信号処理・通信工学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理信号処理・通信工学

周波数感度 $k_{f}$ （単位は Hz/V）が未知の周波数変調（FM）器がある。この FM 器は、変調信号 $m (t)$ （単位は V）に対して
$s (t) = A cos (2 π f_{c} t + 2 π k_{f} \int_{0}^{t} m (τ) d τ)$
を出力する。ここで $A = 10 V$ 、 $f_{c} = 10.7 MHz$ であり、 $t$ は時刻（単位は s）である。

測定変調信号を $m (t) = a cos (2 π \cdot 2000 t)$ とし、振幅 $a$ を $0$ から少しずつ大きくしていったところ、 $a = 0.962 V$ のときにはじめて $s (t)$ のスペクトルから周波数 $f_{c}$ の搬送波成分が消えた。

使用次に、同じ FM 器に変調信号 $m (t) = 0.6 cos (2 π \cdot 1500 t)$ を加え、出力 $s (t)$ を $1 Ω$ の抵抗に加える前に、通過域 $f_{c} - 3.5 kHz < f < f_{c} + 3.5 kHz$ で利得 $1$ 、それ以外の周波数で利得 $0$ の理想帯域通過フィルタに通した。抵抗で消費される平均電力（単位は W）を有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、変調指数 $β$ の正弦波 FM 波は $s (t) = A \sum_{n = - \infty}^{\infty} J_{n} (β) cos {2 π (f_{c} + n f_{m}) t}$ （ $f_{m}$ は変調信号の周波数、 $J_{n}$ は第 1 種ベッセル関数で $J_{- n} (β) = (- 1)^{n} J_{n} (β)$ ）と展開できることを用いてよい。 $J_{0} (β) = 0$ となる最小の正の $β$ は $2.405$ であり、 $J_{0} (2) = 0.2239$ 、 $J_{1} (2) = 0.5767$ 、 $J_{2} (2) = 0.3528$ 、 $J_{3} (2) = 0.1289$ とする。

この問題で使うもの

周波数変調の帯域幅と電力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（72 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

正弦波で変調した FM 波の変調指数は $β = \frac{k _{f} a}{f _{m}}$ です。搬送波成分の振幅は $A J_{0} (β)$ に比例することを使って、測定から $k_{f}$ を求めましょう。

ヒント 2

はじめて搬送波が消えるのは $β = 2.405$ のときです。これから $k_{f}$ を出し、使用時の $β$ を計算します。スペクトル線は $f_{c} \pm n f_{m}$ に並びます。

ヒント 3

$k_{f} = 5000 Hz/V$ 、使用時は $β = 2$ 、 $f_{m} = 1.5 kHz$ です。通過域に入るのは $n = 0, \pm 1, \pm 2$ の成分なので、それぞれの電力 $\frac{A ^{2} J _{n}^{2}}{2}$ を足し合わせましょう。

答えと解説

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48.2

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解説を読む

1. 変調指数 $m (t) = a cos (2 π f_{m} t)$ のとき
$2 π k_{f} \int_{0}^{t} a cos (2 π f_{m} τ) d τ = \frac{k _{f} a}{f _{m}} sin (2 π f_{m} t)$
なので、変調指数は $β = \frac{k _{f} a}{f _{m}}$ （最大周波数偏移 $Δ f = k_{f} a$ を $f_{m}$ で割ったもの）である。

2. 搬送波零点法で $k_{f}$ を求める 搬送波成分（ $n = 0$ の項）の振幅は $A J_{0} (β)$ である。 $a$ を $0$ から増やすと $β$ も $0$ から増え、はじめて搬送波が消えるのは $β = 2.405$ のとき。よって
$\frac{k _{f} \times 0.962}{2000} = 2.405 \Rightarrow k_{f} = \frac{2.405 \times 2000}{0.962} = 5000 Hz/V$

3. 使用時の変調指数
$β = \frac{5000 \times 0.6}{1500} = 2$
（最大周波数偏移は $3 kHz$ 。）

4. フィルタを通る成分 スペクトル線は $f_{c} + n \times 1.5 kHz$ にある。 $∣ n ∣ \times 1.5 < 3.5$ を満たすのは $n = 0, \pm 1, \pm 2$ （ $\pm 3 kHz$ まで）で、 $n = \pm 3$ （ $\pm 4.5 kHz$ ）以上は除かれる。

5. 電力 周波数の異なる正弦波成分の電力は足し合わせられ、振幅 $A J_{n}$ の成分が $1 Ω$ で消費する平均電力は $\frac{A ^{2} J _{n}^{2}}{2}$ 。 $J_{- n}^{2} = J_{n}^{2}$ なので
$P = \frac{A ^{2}}{2} [J_{0}^{2} (2) + 2 J_{1}^{2} (2) + 2 J_{2}^{2} (2)]$
$J_{0}^{2} = 0.05013, 2 J_{1}^{2} = 0.66517, 2 J_{2}^{2} = 0.24894$
$P = 50 \times 0.96423 \approx 48.21 W$

（参考: FM 波の全電力は $β$ によらず $\frac{A ^{2}}{2} = 50 W$ なので、フィルタは全電力の約 $96.4%$ を通している。）

よって有効数字 3 桁で $48.2 W$ 。

別解

測定: $f_{m} = 2000$ Hz、 $m (t) = a cos (2 π f_{m} t)$ のとき瞬時位相の偏移は $2 π k_{f} \int m d τ = \frac{k _{f} a}{f _{m}} sin (2 π f_{m} t)$ なので $β = \frac{k _{f} a}{f _{m}}$ 。搬送波成分が最初に消えるのは $J_{0} (β) = 0$ の最小の正の根 $β = 2.405$ のとき。よって $k_{f} = \frac{2.405 \times 2000}{0.962} = 5000$ Hz/V。
使用: $a = 0.6$ V、 $f_{m} = 1500$ Hz より $β = \frac{5000 \times 0.6}{1500} = 2$ 。
側帯は $f_{c} + n f_{m}$ にあり、フィルタの通過域は $∣ f - f_{c} ∣ < 3500$ Hz。 $∣ n ∣ f_{m} < 3500$ を満たすのは $∣ n ∣ \leq 2$ （ $∣ n ∣ = 2$ は 3000 Hz で通過、 $∣ n ∣ = 3$ は 4500 Hz で遮断）。
各成分 $A J_{n} (2) cos {2 π (f_{c} + n f_{m}) t}$ の平均電力（ $1 Ω$ ）は $\frac{A ^{2} J _{n}^{2}}{2}$ 。
$P = \frac{A ^{2}}{2} [J_{0}^{2} + 2 J_{1}^{2} + 2 J_{2}^{2}] = 50 [0.05013 + 2 (0.33258) + 2 (0.12447)] = 50 \times 0.96423 \approx 48.2$ W。
検算: 全電力は $\sum J_{n}^{2} = 1$ で $50$ W。除かれる $∣ n ∣ \geq 3$ の分は $50 \times (1 - 0.96423) \approx 1.79$ W で、 $2 J_{3}^{2} \times 50 = 2 \times 0.01662 \times 50 = 1.66$ W と $n \geq 4$ の分で整合する。

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