周波数変調の帯域幅と電力

FM 波の最大周波数偏移 $Δ f = k_{f} A_{m}$ と変調指数 $β = Δ f / f_{m}$ を求め、カーソンの法則 $B = 2 (Δ f + f_{m})$ による帯域幅と、ベッセル関数 $J_{n} (β)$ で表した各スペクトル成分の電力の和を求められる

前提

振幅変調の帯域幅と電力（大学物理信号処理・通信工学）

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振幅変調の帯域幅と電力（大学物理信号処理・通信工学）

説明

周波数変調（FM）は、搬送波の振幅は一定のまま、周波数を信号に合わせて上下に揺らして情報を運ぶ方式です。この技能では、信号の振幅から周波数の最大の揺れ幅（最大周波数偏移 $Δ f$ ）と変調指数 $β$ を求め、カーソンの法則で FM 波が占める帯域幅を見積もります。さらに、FM 波を周波数 $f_{c} + n f_{m}$ の成分の和に分けたときの各成分の電力を、ベッセル関数 $J_{n} (β)$ の値（表で与えられる数）を使って求めます。FM ラジオや無線の帯域設計で使います。

なぜそうしてよいのか

変調信号 $A_{m} cos (2 π f_{m} t)$ で FM をかけると、瞬時周波数（位相を時間で微分して $2 π$ で割ったもの）が $f (t) = f_{c} + k_{f} A_{m} cos (2 π f_{m} t)$ となるようにします（ $k_{f}$ は 1 V あたり何 Hz 周波数をずらすかを表す定数）。周波数は $f_{c}$ を中心に最大 $Δ f = k_{f} A_{m}$ だけずれます。このような波は
$s (t) = A cos (2 π f_{c} t + β sin (2 π f_{m} t)), β = \frac{Δ f}{f _{m}}$
と書けます。実際、位相を微分して $2 π$ で割ると $f_{c} + β f_{m} cos (2 π f_{m} t) = f_{c} + Δ f cos (2 π f_{m} t)$ となり、確かに瞬時周波数が上の式になっています。 $β$ は「位相の最大のずれ（rad）」で、これを変調指数といいます。

AM と違い、FM 波は $f_{c} \pm f_{m}$ の 2 本だけでなく、 $f_{c} + n f_{m}$ （ $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ ）の無数の成分に分かれます。各成分の振幅は $β$ だけで決まる係数 $J_{n} (β)$ を使って
$s (t) = A n = - \infty \sum \infty J_{n} (β) cos (2 π (f_{c} + n f_{m}) t)$
と表せることが知られています。つまり $J_{n} (β)$ は、FM 波の周波数 $f_{c} + n f_{m}$ の成分の振幅を $A$ を単位として表した係数です。 $J_{n}$ を $n$ 次のベッセル関数といい、値は表から読みます。ここでは搬送波周波数 $f_{c}$ が、意味のある大きさをもつ側帯波の $∣ n ∣ f_{m}$ よりずっと大きく、 $f_{c} + n f_{m}$ が負になって正の周波数側に折り返す成分は考えなくてよいものとします（実際の FM 放送などではそうなっています）。 $J_{- n} (β) = (- 1)^{n} J_{n} (β)$ なので上下の側帯波は同じ大きさです。 $β$ が小さいときは $cos (β sin θ) \approx 1$ 、 $sin (β sin θ) \approx β sin θ$ と近似して加法定理と積和の公式を使えば、 $s (t) \approx A cos (2 π f_{c} t) + \frac{A β}{2} cos (2 π (f_{c} + f_{m}) t) - \frac{A β}{2} cos (2 π (f_{c} - f_{m}) t)$ となり、 $J_{0} \approx 1$ 、 $J_{\pm 1} \approx \pm \frac{β}{2}$ が確かめられます。

電力は、AM と同じく周波数の異なる成分ごとの平均電力の和です。抵抗 $R$ にかかる振幅 $A J_{n}$ の成分の平均電力は $\frac{A ^{2} J _{n} ( β ) ^{2}}{2 R}$ です。FM 波は振幅が常に $A$ なので全電力は $\frac{A ^{2}}{2 R}$ のままで、これは $\sum_{n} J_{n} (β)^{2} = 1$ を意味します。 $∣ n ∣$ が $β + 1$ を超えると $J_{n}$ は急に小さくなるので、全電力のほぼすべて（98% 程度以上）は $n = - (β + 1)$ から $β + 1$ 程度までの成分、つまり $f_{c} \pm (β + 1) f_{m}$ の範囲に入ります。この幅 $B = 2 (β + 1) f_{m} = 2 (Δ f + f_{m})$ がカーソンの法則による帯域幅です。

手順

最大周波数偏移を求める： $Δ f = k_{f} A_{m}$
変調指数を求める： $β = \frac{Δ f}{f _{m}}$
カーソンの法則で帯域幅を求める： $B = 2 (Δ f + f_{m}) = 2 (β + 1) f_{m}$
成分の電力を求めるときは、周波数 $f_{c} + n f_{m}$ の成分の電力を $P_{n} = \frac{A ^{2}}{2 R} J_{n} (β)^{2}$ とし、 $n$ と $- n$ の両側を数えて足す： $P = \frac{A ^{2}}{2 R} (J_{0}^{2} + 2 \sum_{n = 1}^{N} J_{n}^{2})$ （全電力は $\frac{A ^{2}}{2 R}$ ）

例題

周波数感度 $k_{f} = 5 kHz/V$ の FM 変調器に、振幅 $A_{m} = 3 V$ ・周波数 $f_{m} = 5 kHz$ の正弦波を加えた。カーソンの法則 $B = 2 (Δ f + f_{m})$ による FM 波の帯域幅は何 kHz か。

例題の解答

手順 1：最大周波数偏移は $Δ f = k_{f} A_{m} = 5 \times 3 = 15 kHz$ 。

手順 2：変調指数は $β = \frac{Δ f}{f _{m}} = \frac{15}{5} = 3$ （ $β + 1 = 4$ なので、4 次程度までの側帯波 $f_{c} \pm 4 f_{m}$ が効くことがわかる）。

手順 3：カーソンの法則より
$B = 2 (Δ f + f_{m}) = 2 (15 + 5) = 40 kHz$
（ $2 (β + 1) f_{m} = 2 \times 4 \times 5 = 40$ でも同じで、これは $f_{c} - 4 f_{m}$ から $f_{c} + 4 f_{m}$ までの幅にあたる。）

答え: $40$

よくある誤り

帯域幅を周波数の揺れ幅だけで $B = 2Δ f$ としてしまう誤り。正しくは側帯波が $f_{m}$ 間隔で並ぶ分を加えて $B = 2 (Δ f + f_{m})$ （上の例なら $30$ ではなく $40 kHz$ ）
変調指数を逆数にして $β = \frac{f _{m}}{Δ f}$ としてしまう誤り。正しくは $β = \frac{Δ f}{f _{m}}$ （位相の最大のずれ）
成分の電力の和で、 $n \geq 1$ の側帯波を片側だけ数えて $\frac{A ^{2}}{2 R} (J_{0}^{2} + J_{1}^{2} + \dots)$ としてしまう誤り。正しくは $f_{c} + n f_{m}$ と $f_{c} - n f_{m}$ の両方があるので $\frac{A ^{2}}{2 R} (J_{0}^{2} + 2 J_{1}^{2} + 2 J_{2}^{2} + \dots)$
AM と同じように、変調をかけると全電力が増えるとしてしまう誤り（ $\frac{A ^{2}}{2 R} (1 + β^{2} /2)$ など）。正しくは FM 波の振幅は一定なので、全電力は $β$ によらず $\frac{A ^{2}}{2 R}$ で、変調は搬送波の電力を側帯波に配り直すだけ（ $\sum_{n} J_{n}^{2} = 1$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
振幅 $A_{m} = 3.0 V$ 、周波数 $f_{m} = 5.0 kHz$ の正弦波の信号で搬送波を周波数変調（FM）する。変調器の周波数感度は $k_{f} = 4.0 kHz/V$ で、FM 波の瞬時周波数は搬送波周波数から $k_{f}$ と信号の瞬時値の積だけずれる。
カーソンの法則 $B = 2 (Δ f + f_{m})$ （ $Δ f$ は最大周波数偏移）を用いて、この FM 波の帯域幅 $B$ は何 kHz か求めよ。整数で答えよ。

周波数変調の帯域幅と電力

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題