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信号処理・通信工学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理信号処理・通信工学

単一の正弦波で変調された FM 波
$x (t) = A cos (2 π f_{c} t + β sin (2 π f_{m} t))$
がある。ここで $A > 0$ は定数、搬送波周波数は $f_{c} = 5.0 MHz$ 、変調信号の周波数は $f_{m} = 3.0 kHz$ 、変調指数は $β = 0.50$ である。この FM 波を次の順に処理する。

1. 入出力の関係が $y (t) = k x (t)^{2}$ （ $k > 0$ は定数）で表される 2 乗素子に通し、その出力から中心周波数 $10 MHz$ 付近の成分だけを理想的な帯域通過フィルタで取り出す。
2. 周波数 $4.0 MHz$ の一定周波数の局部発振器とミキサで混合し、周波数の和の成分だけを理想的なフィルタで取り出す。
3. 入力の瞬時位相を正確に $3$ 倍する理想的な周波数 3 逓倍器に通す。

ミキサと局部発振器は理想的とする。最終的に得られる FM 波の占有帯域幅 $B$ を、カーソンの法則 $B = 2 (Δ f + f_{m})$ （ $Δ f$ はその FM 波の最大周波数偏移）で見積もるとき、 $B$ は何 kHz か。整数で答えよ。

この問題で使うもの

周波数変調の帯域幅と電力（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（72 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

各段の処理で、FM 波の瞬時位相（とくに変調による項 $β sin (2 π f_{m} t)$ ）がどう変わるかを追い、最後の最大周波数偏移 $Δ f$ を求めよう。

ヒント 2

2 乗素子の出力は倍角の公式 $cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ で分けられ、 $10 MHz$ 付近の成分は位相が $2 θ$ になる。ミキサは搬送波周波数をずらすだけで変調指数を変えず、3 逓倍器は位相を 3 倍にする。最大周波数偏移は（変調指数） $\times f_{m}$ である。

ヒント 3

最終的な変調指数は $2 \times 3 \times β = 3.0$ なので、最大周波数偏移は $3.0 \times f_{m}$ になる。これをカーソンの法則に代入しよう。

答えと解説

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解説を読む

FM 波 $A cos (2 π f_{c} t + β sin (2 π f_{m} t))$ の瞬時周波数は、位相を時間で微分して $2 π$ で割ると
$f_{i} (t) = f_{c} + β f_{m} cos (2 π f_{m} t)$
となるので、最大周波数偏移は $Δ f = β f_{m}$ である。はじめの FM 波では
$Δ f_{0} = 0.50 \times 3.0 kHz = 1.5 kHz$

1. 2 乗素子と帯域通過フィルタ

$θ (t) = 2 π f_{c} t + β sin (2 π f_{m} t)$ とおくと、倍角の公式 $cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}$ より
$y (t) = k A^{2} cos^{2} θ (t) = \frac{k A ^{2}}{2} + \frac{k A ^{2}}{2} cos (2 π (2 f_{c}) t + 2 β sin (2 π f_{m} t))$
第 1 項は直流で、第 2 項は搬送波周波数 $2 f_{c} = 10 MHz$ の FM 波である。帯域通過フィルタで第 2 項だけを取り出すと、変調指数は $2 β = 1.0$ 、最大周波数偏移は
$Δ f_{1} = 2 β f_{m} = 3.0 kHz$
となる（変調信号の周波数 $f_{m}$ は変わらない）。

2. ミキサ（和の成分）

局部発振器の信号を $cos (2 π f_{L O} t)$ （ $f_{L O} = 4.0 MHz$ ）とすると、積和の公式により、ミキサ出力の和の成分は
$cos (2 π (2 f_{c} + f_{L O}) t + 2 β sin (2 π f_{m} t))$
に比例する。搬送波周波数は $14 MHz$ に移るが、変調による位相の項 $2 β sin (2 π f_{m} t)$ はそのままなので、最大周波数偏移は変わらず $Δ f_{2} = 3.0 kHz$ である。 $f_{L O}$ が一定なので、周波数を一定量ずらすだけだからである。

3. 3 逓倍器

瞬時位相が 3 倍になるので、出力は
$cos (2 π \cdot 3 (2 f_{c} + f_{L O}) t + 6 β sin (2 π f_{m} t))$
に比例する。搬送波周波数は $42 MHz$ 、変調指数は $6 β = 3.0$ で、最大周波数偏移は
$Δ f = 6 β f_{m} = 3.0 \times 3.0 kHz = 9.0 kHz$

占有帯域幅

カーソンの法則より
$B = 2 (Δ f + f_{m}) = 2 \times (9.0 + 3.0) kHz = 24 kHz$

よって $B = 24 kHz$ である。

別解

瞬時位相を $θ (t) = 2 π f_{c} t + β sin (2 π f_{m} t)$ とする。

1. 2乗素子: $y = k A^{2} cos^{2} θ = \frac{k A ^{2}}{2} (1 + cos 2 θ)$ 。中心 10 MHz 付近の成分は $cos 2 θ = cos (2 π (10 MHz) t + 2 β sin (2 π f_{m} t))$ で、搬送波 10 MHz、変調指数 $2 β = 1.0$ 、 $f_{m} = 3.0$ kHz のまま。
2. 周波数 4.0 MHz の一定周波数の局部発振器と混合し和の成分を取り出すと、搬送波は 14 MHz になるが、位相の変調項 $1.0 sin (2 π f_{m} t)$ は変わらない。変調指数 1.0。
3. 周波数 3 逓倍: 瞬時位相が 3 倍になるので搬送波 42 MHz、変調指数 $3 \times 1.0 = 3.0$ 。

最大周波数偏移は $Δ f = β^{'} f_{m} = 3.0 \times 3.0 kHz = 9.0 kHz$ 。

カーソンの法則より $B = 2 (Δ f + f_{m}) = 2 (9.0 + 3.0) = 24$ kHz。

検算: 偏移は $Δ f = \frac{1}{2 π} \frac{d}{d t} β^{'} sin (2 π f_{m} t)_{ma x} = β^{'} f_{m}$ で、2乗で2倍(1→ 0.5→1.0)、ミキサで不変、3逓倍で3倍なので $0.5 \times 2 \times 3 = 3.0$ と一致する。

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