信号処理・通信工学の問題

連続時間信号
$$x(t)=\cos (2\pi \cdot 7000t)+\sin (2\pi \cdot 13000t)$$
（$t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s=10\text{kHz}$（標本化周期 $T=1/f_s$）で理想的に標本化し、標本列 $x[n]=x(nT)$（$n$ は整数）を得た。この標本列を次の 2 段で連続時間信号に戻す。

• 第 1 段（0 次ホールド）: $nT\le t<(n+1)T$ の区間で出力を $x[n]$ に保つ階段状の信号 $x_h(t)$ をつくる。
• 第 2 段: $x_h(t)$ を、通過域 $|f|<5\text{kHz}$ で利得 $1$（位相遅れなし）、それ以外の周波数で利得 $0$ の理想低域通過フィルタに通す。

最終的な出力 $y(t)$ は単一周波数の正弦波になる。その振幅を正確な値で求めよ。必要なら $\sin \frac{3\pi }{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ を用いてよい。

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$（$t$ は時刻で単位は s）がある。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、得られた標本列を遮断周波数 $f_s/2$ の理想低域通過フィルタで連続時間信号に復元したところ、復元された信号は 1 つの周波数の正弦波になり、その周波数は次のとおりであった。

• $f_s=3000\text{Hz}$ のとき $700\text{Hz}$
• $f_s=4000\text{Hz}$ のとき $1300\text{Hz}$
• $f_s=5000\text{Hz}$ のとき $1700\text{Hz}$

$f_0$ の値を Hz 単位で求めよ。

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波信号 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$ がある（$t$ は時刻で単位は s）。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号をアンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、その標本列を遮断周波数 $\frac{f_s}{2}$ の理想低域通過フィルタで復元する。次の 2 通りの実験を行った。

• 実験 1: $f_s=4000\text{Hz}$ で標本化・復元すると、周波数 $1300\text{Hz}$ の正弦波が得られた。
• 実験 2: $f_s=3000\text{Hz}$ で標本化・復元すると、周波数 $700\text{Hz}$ の正弦波が得られた。

両方の実験結果と矛盾しない $f_0$ の値（Hz）をすべて求めよ。

実数値の連続時間信号 $x(t)$（$t$ は時刻で単位は s）のフーリエ変換 $X(f)$ は、$18\text{kHz}<|f|<22\text{kHz}$ の範囲で $0$ でなく、それ以外の周波数では $0$ である（帯域通過信号）。

この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化する（理想インパルス列による標本化）。標本化した信号の通過域が $18\text{kHz}\le |f|\le 22\text{kHz}$ の理想帯域通過フィルタに通すことで、$x(t)$ を完全に復元したい。復元できるのは、標本化によって現れるスペクトルの複製のうち、元のスペクトル以外のものが帯域 $18\text{kHz}<|f|<22\text{kHz}$ に幅をもって重ならないときである。複製が端点で接するだけの場合は、復元に影響しないものとする。

$f_s$ を kHz 単位で表した値が $10\le f_s\le 20$ を満たす整数であるとき、$x(t)$ を完全に復元できる $f_s$ をすべて求めよ。答えは kHz 単位の数値の集合で答えよ。

$t$ を時刻（単位は s）とし、連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (2\pi \cdot 400t)}{\pi t}\right)}^2\cos (2\pi \cdot 1500t)$$
を考える（$t=0$ では連続になるように値を定める）。フーリエ変換は $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$（$f$ は周波数で単位は Hz）で定義し、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|<W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ となる矩形関数であることを用いてよい。

この信号を一定の標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、理想低域通過フィルタで復元する（帯域通過標本化は考えない）。$X(f)\ne 0$ となる周波数 $|f|$ の上限を $B$ とするとき、ナイキストレート $2B$ は何 Hz か。整数で答えよ。