信号処理・通信工学の問題

連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (1000\pi t)}{\pi t}\right)}^2\cos (3000\pi t)$$
を考える（$t$ は時刻で単位は s、$t=0$ での値は極限値で定める）。この信号を標本化周波数 $f_s$ で等間隔に標本化し、理想低域通過フィルタで元の信号を復元する（帯域通過標本化のように、低域通過フィルタ以外の復元方法は考えない）。

この方式では、$x(t)$ のスペクトルの最高周波数を $f_{\max }$（$|f|>f_{\max }$ で $X(f)=0$ となる最小の値）とすると、$f_s>2f_{\max }$ のときにエイリアシングを起こさずに $x(t)$ を完全に復元できる。この $2f_{\max }$ をナイキストレート $f_N$ とよぶ。$f_N$ は何 Hz か。整数で求めよ。

ただし、フーリエ変換を $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ で定め、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|\le W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ の矩形関数であることを用いてよい。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]$$
で表される（$n$ は整数）。このフィルタに、周波数 $f=1000\text{Hz}$ の連続時間正弦波を標本化した信号
$$x[n]=\cos \left(\frac{2\pi f}{f_s}n\right)(-\infty <n<\infty )$$
を入力したとき、出力 $y[n]$ も同じ周波数の正弦波になる。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、周波数特性 $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数）を用いて、出力 $y[n]$ の振幅を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

連続時間信号
$$x(t)=\cos (2\pi \cdot 1700t)+\cos (2\pi \cdot 2600t)+\cos (2\pi \cdot 3200t)$$
（$t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s=2000\text{Hz}$ で理想的に標本化した（標本値 $x(nT)$、$T=1/f_s$、$n$ は整数）。この標本列から、遮断周波数 $f_s/2=1000\text{Hz}$ の理想低域通過フィルタによる理想的な補間で連続時間信号 $\hat{x}(t)$ を再構成する。$\hat{x}(t)$ に含まれる正弦波成分の周波数（Hz 単位、正の値）をすべて求め、集合で答えよ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{4}\left(x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]\right)$$
で表される離散時間 FIR フィルタ（4 点移動平均フィルタ）がある（$n$ は整数）。このフィルタに、すべての整数 $n$ について定義された入力
$$x[n]=3+2\cos \left(\frac{\pi n}{3}\right)$$
を加える。伝達関数 $H(z)$ と周波数特性 $H(e^{j\omega })$ を用いて出力 $y[n]$ を求め、$n$ を整数全体で動かしたときの $y[n]$ の最大値を求めよ。答えは分数で表せ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあります。入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は、差分方程式
$$y[n]=c\left(x[n]+bx[n-1]+x[n-2]\right)$$
で表されます（$n$ は整数）。ここで $b$, $c$ は実数の定数で、$c>0$ とします。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$ とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$ で表します。$j$ は虚数単位、$\omega =\frac{2\pi f}{f_s}$ は正規化角周波数、$f$ は周波数（単位は Hz）です。定数 $b$, $c$ は、次の 2 つの条件を満たすように決めます。

• 周波数 $1000\text{Hz}$ の正弦波成分を完全に除去する。すなわち、この周波数で $|H(e^{j\omega })|=0$ となる。
• 直流（$f=0$）での利得が $1$ である。すなわち $H(e^{j0})=1$ となる。

このとき、周波数 $4000\text{Hz}$ での振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を、根号を用いた正確な値で求めてください。