信号処理・通信工学の問題

$t$ を時刻（単位は s）とし、連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (2\pi \cdot 400t)}{\pi t}\right)}^2\cos (2\pi \cdot 1500t)$$
を考える（$t=0$ では連続になるように値を定める）。フーリエ変換は $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$（$f$ は周波数で単位は Hz）で定義し、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|<W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ となる矩形関数であることを用いてよい。

この信号を一定の標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、理想低域通過フィルタで復元する（帯域通過標本化は考えない）。$X(f)\ne 0$ となる周波数 $|f|$ の上限を $B$ とするとき、ナイキストレート $2B$ は何 Hz か。整数で答えよ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]$$
で表される（$n$ は整数）。このフィルタに、周波数 $f=1000\text{Hz}$ の連続時間正弦波を標本化した信号
$$x[n]=\cos \left(\frac{2\pi f}{f_s}n\right)(-\infty <n<\infty )$$
を入力したとき、出力 $y[n]$ も同じ周波数の正弦波になる。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、周波数特性 $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数）を用いて、出力 $y[n]$ の振幅を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

実数値の連続時間信号 $x(t)$（$t$ は時刻で単位は s）のフーリエ変換 $X(f)$ は、$18\text{kHz}<|f|<22\text{kHz}$ の範囲で $0$ でなく、それ以外の周波数では $0$ である（帯域通過信号）。

この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化する（理想インパルス列による標本化）。標本化した信号の通過域が $18\text{kHz}\le |f|\le 22\text{kHz}$ の理想帯域通過フィルタに通すことで、$x(t)$ を完全に復元したい。復元できるのは、標本化によって現れるスペクトルの複製のうち、元のスペクトル以外のものが帯域 $18\text{kHz}<|f|<22\text{kHz}$ に幅をもって重ならないときである。複製が端点で接するだけの場合は、復元に影響しないものとする。

$f_s$ を kHz 単位で表した値が $10\le f_s\le 20$ を満たす整数であるとき、$x(t)$ を完全に復元できる $f_s$ をすべて求めよ。答えは kHz 単位の数値の集合で答えよ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{4}\left(x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]\right)$$
で表される離散時間 FIR フィルタ（4 点移動平均フィルタ）がある（$n$ は整数）。このフィルタに、すべての整数 $n$ について定義された入力
$$x[n]=3+2\cos \left(\frac{\pi n}{3}\right)$$
を加える。伝達関数 $H(z)$ と周波数特性 $H(e^{j\omega })$ を用いて出力 $y[n]$ を求め、$n$ を整数全体で動かしたときの $y[n]$ の最大値を求めよ。答えは分数で表せ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあります。入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は、差分方程式
$$y[n]=c\left(x[n]+bx[n-1]+x[n-2]\right)$$
で表されます（$n$ は整数）。ここで $b$, $c$ は実数の定数で、$c>0$ とします。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$ とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$ で表します。$j$ は虚数単位、$\omega =\frac{2\pi f}{f_s}$ は正規化角周波数、$f$ は周波数（単位は Hz）です。定数 $b$, $c$ は、次の 2 つの条件を満たすように決めます。

• 周波数 $1000\text{Hz}$ の正弦波成分を完全に除去する。すなわち、この周波数で $|H(e^{j\omega })|=0$ となる。
• 直流（$f=0$）での利得が $1$ である。すなわち $H(e^{j0})=1$ となる。

このとき、周波数 $4000\text{Hz}$ での振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を、根号を用いた正確な値で求めてください。