信号処理・通信工学の問題

実数値の連続時間信号 $x(t)$ のフーリエ変換 $X(f)$（$f$ は周波数）は、$21\text{kHz}<|f|<25\text{kHz}$ の範囲でだけ $0$ でない値をとり、それ以外の $f$ では $X(f)=0$ である（帯域通過信号）。この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に（インパルス列をかけて）標本化すると、標本化後の信号のスペクトルは
$$X_s(f)=f_s\sum _{m=-\infty }^{\infty }X(f-m{f}_s)$$
となる。ここで、$X(f)$ が $0$ でない区間を $m{f}_s$ ずらした複製どうし（$m$ は整数、正の周波数側の帯域と負の周波数側の帯域の両方を含む）が互いに重ならないとき「エイリアシングが起きない」という（区間の端点で接するだけのときは重ならないとみなす）。

$f_s$ を kHz 単位で表した値が $16$ 以下の正の整数であるとき、エイリアシングが起きない $f_s$ の値（kHz 単位の数値）をすべて求めよ。

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$（$t$ は時刻で単位は s）がある。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、得られた標本列を遮断周波数 $f_s/2$ の理想低域通過フィルタで連続時間信号に復元したところ、復元された信号は 1 つの周波数の正弦波になり、その周波数は次のとおりであった。

• $f_s=3000\text{Hz}$ のとき $700\text{Hz}$
• $f_s=4000\text{Hz}$ のとき $1300\text{Hz}$
• $f_s=5000\text{Hz}$ のとき $1700\text{Hz}$

$f_0$ の値を Hz 単位で求めよ。

連続時間信号
$$x(t)=\cos (2\pi \cdot 1700t)+\cos (2\pi \cdot 2600t)+\cos (2\pi \cdot 3200t)$$
（$t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s=2000\text{Hz}$ で理想的に標本化した（標本値 $x(nT)$、$T=1/f_s$、$n$ は整数）。この標本列から、遮断周波数 $f_s/2=1000\text{Hz}$ の理想低域通過フィルタによる理想的な補間で連続時間信号 $\hat{x}(t)$ を再構成する。$\hat{x}(t)$ に含まれる正弦波成分の周波数（Hz 単位、正の値）をすべて求め、集合で答えよ。

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波信号 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$ がある（$t$ は時刻で単位は s）。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号をアンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、その標本列を遮断周波数 $\frac{f_s}{2}$ の理想低域通過フィルタで復元する。次の 2 通りの実験を行った。

• 実験 1: $f_s=4000\text{Hz}$ で標本化・復元すると、周波数 $1300\text{Hz}$ の正弦波が得られた。
• 実験 2: $f_s=3000\text{Hz}$ で標本化・復元すると、周波数 $700\text{Hz}$ の正弦波が得られた。

両方の実験結果と矛盾しない $f_0$ の値（Hz）をすべて求めよ。

連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (1000\pi t)}{\pi t}\right)}^2\cos (3000\pi t)$$
を考える（$t$ は時刻で単位は s、$t=0$ での値は極限値で定める）。この信号を標本化周波数 $f_s$ で等間隔に標本化し、理想低域通過フィルタで元の信号を復元する（帯域通過標本化のように、低域通過フィルタ以外の復元方法は考えない）。

この方式では、$x(t)$ のスペクトルの最高周波数を $f_{\max }$（$|f|>f_{\max }$ で $X(f)=0$ となる最小の値）とすると、$f_s>2f_{\max }$ のときにエイリアシングを起こさずに $x(t)$ を完全に復元できる。この $2f_{\max }$ をナイキストレート $f_N$ とよぶ。$f_N$ は何 Hz か。整数で求めよ。

ただし、フーリエ変換を $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ で定め、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|\le W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ の矩形関数であることを用いてよい。