信号処理・通信工学の問題

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$（$t$ は時刻で単位は s）がある。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、得られた標本列を遮断周波数 $f_s/2$ の理想低域通過フィルタで連続時間信号に復元したところ、復元された信号は 1 つの周波数の正弦波になり、その周波数は次のとおりであった。

• $f_s=3000\text{Hz}$ のとき $700\text{Hz}$
• $f_s=4000\text{Hz}$ のとき $1300\text{Hz}$
• $f_s=5000\text{Hz}$ のとき $1700\text{Hz}$

$f_0$ の値を Hz 単位で求めよ。

連続時間信号
$$x(t)=\cos (2\pi \cdot 1700t)+\cos (2\pi \cdot 2600t)+\cos (2\pi \cdot 3200t)$$
（$t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s=2000\text{Hz}$ で理想的に標本化した（標本値 $x(nT)$、$T=1/f_s$、$n$ は整数）。この標本列から、遮断周波数 $f_s/2=1000\text{Hz}$ の理想低域通過フィルタによる理想的な補間で連続時間信号 $\hat{x}(t)$ を再構成する。$\hat{x}(t)$ に含まれる正弦波成分の周波数（Hz 単位、正の値）をすべて求め、集合で答えよ。

実数値の連続時間信号 $x(t)$（$t$ は時刻で単位は s）のフーリエ変換 $X(f)$ は、$18\text{kHz}<|f|<22\text{kHz}$ の範囲で $0$ でなく、それ以外の周波数では $0$ である（帯域通過信号）。

この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化する（理想インパルス列による標本化）。標本化した信号の通過域が $18\text{kHz}\le |f|\le 22\text{kHz}$ の理想帯域通過フィルタに通すことで、$x(t)$ を完全に復元したい。復元できるのは、標本化によって現れるスペクトルの複製のうち、元のスペクトル以外のものが帯域 $18\text{kHz}<|f|<22\text{kHz}$ に幅をもって重ならないときである。複製が端点で接するだけの場合は、復元に影響しないものとする。

$f_s$ を kHz 単位で表した値が $10\le f_s\le 20$ を満たす整数であるとき、$x(t)$ を完全に復元できる $f_s$ をすべて求めよ。答えは kHz 単位の数値の集合で答えよ。

連続時間信号
$$x(t)=\cos (2\pi \cdot 7000t)+\sin (2\pi \cdot 13000t)$$
（$t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s=10\text{kHz}$（標本化周期 $T=1/f_s$）で理想的に標本化し、標本列 $x[n]=x(nT)$（$n$ は整数）を得た。この標本列を次の 2 段で連続時間信号に戻す。

• 第 1 段（0 次ホールド）: $nT\le t<(n+1)T$ の区間で出力を $x[n]$ に保つ階段状の信号 $x_h(t)$ をつくる。
• 第 2 段: $x_h(t)$ を、通過域 $|f|<5\text{kHz}$ で利得 $1$（位相遅れなし）、それ以外の周波数で利得 $0$ の理想低域通過フィルタに通す。

最終的な出力 $y(t)$ は単一周波数の正弦波になる。その振幅を正確な値で求めよ。必要なら $\sin \frac{3\pi }{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ を用いてよい。

正弦波信号 $x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t)$ を、$B$ ビットの一様量子化器をもつ A/D 変換器で標本化・量子化する。量子化器の入力範囲は $-V\le x\le V$（$V>0$）で、量子化レベル数は $2^B$、量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^B}$ である。信号の振幅は $A=\frac{V}{2}$ であり、量子化器が飽和することはない。

標本化周波数は $f_s=2.56\text{MHz}$ である。量子化誤差は次の性質をもつとする。
- 区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ 上の一様分布に従い、信号とは無相関である。
- その電力は周波数帯域 $-\frac{f_s}{2}\le f\le \frac{f_s}{2}$ に一様に分布している（白色）。

量子化後のディジタル信号を、通過帯域 $|f|\le f_B$（$f_B=20\text{kHz}$）の理想低域通過フィルタに通す。信号周波数 $f_0$ は $0<f_0<f_B$ を満たし、信号はこのフィルタで減衰しない。

フィルタ出力での信号対雑音比（信号電力と量子化雑音電力の比）を $\text{SNR}$ とし、そのデシベル値を $10{\log }_{10}\text{SNR}$ と定義する。フィルタ出力での SNR が $96\text{dB}$ 以上となるような最小の正の整数 $B$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。