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信号処理・通信工学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理信号処理・通信工学

周波数 $f_{0}$ （単位は Hz）が未知の正弦波 $x (t) = cos (2 π f_{0} t)$ （ $t$ は時刻で単位は s）がある。 $f_{0}$ は $0 < f_{0} < 10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_{s}$ で理想的に標本化し、得られた標本列を遮断周波数 $f_{s} /2$ の理想低域通過フィルタで連続時間信号に復元したところ、復元された信号は 1 つの周波数の正弦波になり、その周波数は次のとおりであった。

$f_{s} = 3000 Hz$ のとき $700 Hz$
$f_{s} = 4000 Hz$ のとき $1300 Hz$
$f_{s} = 5000 Hz$ のとき $1700 Hz$

$f_{0}$ の値を Hz 単位で求めよ。

この問題で使うもの

標本化定理とエイリアシング（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（66 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

標本化周波数 $f_{s}$ で標本化した正弦波は、周波数が $f_{s}$ の整数倍だけ違う正弦波と区別できない。復元後に見える周波数は $0$ から $f_{s} /2$ の範囲に折り返された周波数である。

ヒント 2

復元された周波数が $f_{a}$ であることは、ある整数 $m$ で $f_{0} = m f_{s} \pm f_{a}$ と書けることと同じである。各標本化周波数について、 $0 < f_{0} < 10000$ の範囲の候補を書き出す。

ヒント 3

$f_{s} = 3000 Hz$ と $f_{s} = 4000 Hz$ の条件を両方満たす候補は 2 つに絞られる。3 つ目の条件でどちらが残るかを調べる。

答えと解説

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6700

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解説を読む

1. 復元される周波数（エイリアス）の求め方

$x (t) = cos (2 π f_{0} t)$ を標本化周波数 $f_{s}$ で標本化すると、標本 $x (n T)$ （ $T = 1/ f_{s}$ ）は
$cos (2 π f_{0} n T) = cos (2 π (f_{0} - m f_{s}) n T) = cos (2 π (m f_{s} - f_{0}) n T) (m は整数)$
を満たす（ $e^{\pm j 2 π mn} = 1$ のため）。つまり標本化後のスペクトルは $\pm f_{0}$ を $f_{s}$ の整数倍だけずらしたものの重ね合わせになり、遮断周波数 $f_{s} /2$ の理想低域通過フィルタを通すと、 $∣ f_{0} - m f_{s} ∣$ のうち $0$ 以上 $f_{s} /2$ 以下にある周波数 $f_{a}$ の正弦波だけが残る。したがって復元された周波数が $f_{a}$ であることは
$f_{0} = m f_{s} \pm f_{a} (m は整数)$
と同じである。

2. 各条件から候補を挙げる（ $0 < f_{0} < 10000$ ）

$f_{s} = 3000, f_{a} = 700$ : $f_{0} = 3000 m \pm 700$ より
$700, 2300, 3700, 5300, 6700, 8300, 9700$

$f_{s} = 4000, f_{a} = 1300$ : $f_{0} = 4000 m \pm 1300$ より
$1300, 2700, 5300, 6700, 9300$

$f_{s} = 5000, f_{a} = 1700$ : $f_{0} = 5000 m \pm 1700$ より
$1700, 3300, 6700, 8300$

3. 共通部分

最初の 2 つの条件に共通するのは $5300$ と $6700$ である。3 つ目の条件の候補に含まれるのは $6700$ だけなので（ $5300$ を $5000 Hz$ で標本化すると $∣5300 - 5000∣ = 300 Hz$ になり、条件に合わない）、
$f_{0} = 6700 Hz$

確認: $∣6700 - 2 \cdot 3000∣ = 700$ 、 $∣6700 - 2 \cdot 4000∣ = 1300$ 、 $∣6700 - 5000∣ = 1700$ で、いずれも $f_{s} /2$ 以下である。

別解

標本化周波数 $f_{s}$ では、周波数 $f_{0}$ は $f_{0} \equiv \pm f_{a} (mod f_{s})$ を満たす $f_{a}$ （ $0 \leq f_{a} \leq f_{s} /2$ ）に折り返される。
$f_{s} = 3000$ : $f_{0} \equiv 700$ または $2300 (mod 3000)$ なので、 $0 < f_{0} < 10000$ の候補は $700, 2300, 3700, 5300, 6700, 8300, 9700$ 。
$f_{s} = 4000$ : $f_{0} \equiv 1300$ または $2700 (mod 4000)$ 。候補を $4000$ で割った余りは $700, 2300, 3700, 1300, 2700, 300, 1700$ なので、残るのは $5300$ （余り 1300）と $6700$ （余り 2700）。
$f_{s} = 5000$ : $f_{0} \equiv 1700$ または $3300 (mod 5000)$ 。 $5300 mod 5000 = 300$ で不適、 $6700 mod 5000 = 1700$ で適合。
よって $f_{0} = 6700$ Hz。
検算: $f_{s} = 3000$ で $6700 - 6000 = 700$ ✓。 $f_{s} = 4000$ で $6700 - 4000 = 2700 > 2000$ なので $4000 - 2700 = 1300$ ✓。 $f_{s} = 5000$ で $6700 - 5000 = 1700 \leq 2500$ ✓。

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