信号処理・通信工学の問題

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$（$t$ は時刻で単位は s）がある。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、得られた標本列を遮断周波数 $f_s/2$ の理想低域通過フィルタで連続時間信号に復元したところ、復元された信号は 1 つの周波数の正弦波になり、その周波数は次のとおりであった。

• $f_s=3000\text{Hz}$ のとき $700\text{Hz}$
• $f_s=4000\text{Hz}$ のとき $1300\text{Hz}$
• $f_s=5000\text{Hz}$ のとき $1700\text{Hz}$

$f_0$ の値を Hz 単位で求めよ。

周波数 $f_0=250\text{Hz}$、振幅 $2\text{V}$ の正弦波電圧 $x(t)=2\sin (2\pi f_{0}t)$ を、標本化周期 $T=1.0\text{ms}$（標本化周波数 $f_s=1/T=1000\text{Hz}$）で標本化する。各標本値 $x(nT)$ を次の標本時刻まで保持して（0 次ホールド）階段状の信号を作り、それを通過域の利得が $1$、遮断周波数が $f_s/2=500\text{Hz}$ の理想低域通過フィルタに通す。

0 次ホールドは、標本列をインパルス列 $x_s(t)={\sum }_{n}x(nT)\delta (t-nT)$ とみなし、それをインパルス応答 $h(t)=1(0\le t<T)$、$h(t)=0$（それ以外）の系に通すものと考える。この系の周波数特性の大きさは
$$|H(f)|=T\left|\frac{\sin (\pi fT)}{\pi fT}\right|$$
であり、インパルス列 $x_s(t)$ のスペクトルのうち $|f|<f_s/2$ の部分は、もとの信号 $x(t)$ のスペクトルの $\frac{1}{T}$ 倍である。

フィルタの出力は周波数 $250\text{Hz}$ の正弦波になる。その振幅は何 V か。根号と $\pi$ を用いた正確な値で答えよ。

振幅 $A_m=3.0\text{V}$、周波数 $f_m=5.0\text{kHz}$ の正弦波の信号で搬送波を周波数変調（FM）する。変調器の周波数感度は $k_f=4.0\text{kHz/V}$ で、FM 波の瞬時周波数は搬送波周波数から $k_f$ と信号の瞬時値の積だけずれる。

カーソンの法則 $B=2(\Delta f+f_m)$（$\Delta f$ は最大周波数偏移）を用いて、この FM 波の帯域幅 $B$ は何 kHz か求めよ。整数で答えよ。

連続時間信号
$$x(t)=\cos (2\pi \cdot 1700t)+\cos (2\pi \cdot 2600t)+\cos (2\pi \cdot 3200t)$$
（$t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s=2000\text{Hz}$ で理想的に標本化した（標本値 $x(nT)$、$T=1/f_s$、$n$ は整数）。この標本列から、遮断周波数 $f_s/2=1000\text{Hz}$ の理想低域通過フィルタによる理想的な補間で連続時間信号 $\hat{x}(t)$ を再構成する。$\hat{x}(t)$ に含まれる正弦波成分の周波数（Hz 単位、正の値）をすべて求め、集合で答えよ。

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波信号 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$ がある（$t$ は時刻で単位は s）。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号をアンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、その標本列を遮断周波数 $\frac{f_s}{2}$ の理想低域通過フィルタで復元する。次の 2 通りの実験を行った。

• 実験 1: $f_s=4000\text{Hz}$ で標本化・復元すると、周波数 $1300\text{Hz}$ の正弦波が得られた。
• 実験 2: $f_s=3000\text{Hz}$ で標本化・復元すると、周波数 $700\text{Hz}$ の正弦波が得られた。

両方の実験結果と矛盾しない $f_0$ の値（Hz）をすべて求めよ。