信号処理・通信工学の問題

周波数 $7\text{kHz}$ の正弦波 $x(t)=\cos (2\pi \times 7000t)$（$t$ は時刻 [s]）を、標本化周波数 $f_s=10\text{kHz}$ で標本化した。得られた標本値の列を、遮断周波数 $f_s/2=5\text{kHz}$ の理想低域通過フィルタに通して連続信号に再構成する。再構成された信号は 1 つの正弦波になる。その周波数 [kHz] を求めよ。

$t$ を時刻（単位は s）とし、連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (2\pi \cdot 400t)}{\pi t}\right)}^2\cos (2\pi \cdot 1500t)$$
を考える（$t=0$ では連続になるように値を定める）。フーリエ変換は $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$（$f$ は周波数で単位は Hz）で定義し、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|<W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ となる矩形関数であることを用いてよい。

この信号を一定の標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、理想低域通過フィルタで復元する（帯域通過標本化は考えない）。$X(f)\ne 0$ となる周波数 $|f|$ の上限を $B$ とするとき、ナイキストレート $2B$ は何 Hz か。整数で答えよ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]$$
で表される（$n$ は整数）。このフィルタに、周波数 $f=1000\text{Hz}$ の連続時間正弦波を標本化した信号
$$x[n]=\cos \left(\frac{2\pi f}{f_s}n\right)(-\infty <n<\infty )$$
を入力したとき、出力 $y[n]$ も同じ周波数の正弦波になる。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、周波数特性 $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数）を用いて、出力 $y[n]$ の振幅を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (1000\pi t)}{\pi t}\right)}^2\cos (3000\pi t)$$
を考える（$t$ は時刻で単位は s、$t=0$ での値は極限値で定める）。この信号を標本化周波数 $f_s$ で等間隔に標本化し、理想低域通過フィルタで元の信号を復元する（帯域通過標本化のように、低域通過フィルタ以外の復元方法は考えない）。

この方式では、$x(t)$ のスペクトルの最高周波数を $f_{\max }$（$|f|>f_{\max }$ で $X(f)=0$ となる最小の値）とすると、$f_s>2f_{\max }$ のときにエイリアシングを起こさずに $x(t)$ を完全に復元できる。この $2f_{\max }$ をナイキストレート $f_N$ とよぶ。$f_N$ は何 Hz か。整数で求めよ。

ただし、フーリエ変換を $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ で定め、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|\le W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ の矩形関数であることを用いてよい。

実数値の連続時間信号 $x(t)$ のフーリエ変換 $X(f)$（$f$ は周波数）は、$40\text{kHz}<|f|<50\text{kHz}$ の範囲でだけ $0$ でない値をとり、それ以外の $f$ では $X(f)=0$ である。この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化する。標本化した信号のスペクトルは $X(f)$ を $f_s$ の整数倍ずつずらした複製 $X(f-m{f}_s)$（$m$ は整数）の和になる。

$f_s$ を $30\text{kHz}\leqq f_s\leqq 45\text{kHz}$ の範囲で選ぶとき、複製どうしが重ならない（エイリアシングが起きない）ような $f_s$ は、ある閉区間をなす。その区間の最小値と最大値（単位 kHz）を、この順に組で答えよ。ただし、複製の端どうしが接する場合は重ならないとみなす。