信号処理・通信工学の問題

実数値の連続時間信号 $x(t)$ のフーリエ変換 $X(f)$（$f$ は周波数）は、$21\text{kHz}<|f|<25\text{kHz}$ の範囲でだけ $0$ でない値をとり、それ以外の $f$ では $X(f)=0$ である（帯域通過信号）。この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に（インパルス列をかけて）標本化すると、標本化後の信号のスペクトルは
$$X_s(f)=f_s\sum _{m=-\infty }^{\infty }X(f-m{f}_s)$$
となる。ここで、$X(f)$ が $0$ でない区間を $m{f}_s$ ずらした複製どうし（$m$ は整数、正の周波数側の帯域と負の周波数側の帯域の両方を含む）が互いに重ならないとき「エイリアシングが起きない」という（区間の端点で接するだけのときは重ならないとみなす）。

$f_s$ を kHz 単位で表した値が $16$ 以下の正の整数であるとき、エイリアシングが起きない $f_s$ の値（kHz 単位の数値）をすべて求めよ。

実数値の連続時間信号 $x(t)$（$t$ は時刻で単位は s）のフーリエ変換 $X(f)$ は、$18\text{kHz}<|f|<22\text{kHz}$ の範囲で $0$ でなく、それ以外の周波数では $0$ である（帯域通過信号）。

この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化する（理想インパルス列による標本化）。標本化した信号の通過域が $18\text{kHz}\le |f|\le 22\text{kHz}$ の理想帯域通過フィルタに通すことで、$x(t)$ を完全に復元したい。復元できるのは、標本化によって現れるスペクトルの複製のうち、元のスペクトル以外のものが帯域 $18\text{kHz}<|f|<22\text{kHz}$ に幅をもって重ならないときである。複製が端点で接するだけの場合は、復元に影響しないものとする。

$f_s$ を kHz 単位で表した値が $10\le f_s\le 20$ を満たす整数であるとき、$x(t)$ を完全に復元できる $f_s$ をすべて求めよ。答えは kHz 単位の数値の集合で答えよ。

周波数 $f_0=250\text{Hz}$、振幅 $2\text{V}$ の正弦波電圧 $x(t)=2\sin (2\pi f_{0}t)$ を、標本化周期 $T=1.0\text{ms}$（標本化周波数 $f_s=1/T=1000\text{Hz}$）で標本化する。各標本値 $x(nT)$ を次の標本時刻まで保持して（0 次ホールド）階段状の信号を作り、それを通過域の利得が $1$、遮断周波数が $f_s/2=500\text{Hz}$ の理想低域通過フィルタに通す。

0 次ホールドは、標本列をインパルス列 $x_s(t)={\sum }_{n}x(nT)\delta (t-nT)$ とみなし、それをインパルス応答 $h(t)=1(0\le t<T)$、$h(t)=0$（それ以外）の系に通すものと考える。この系の周波数特性の大きさは
$$|H(f)|=T\left|\frac{\sin (\pi fT)}{\pi fT}\right|$$
であり、インパルス列 $x_s(t)$ のスペクトルのうち $|f|<f_s/2$ の部分は、もとの信号 $x(t)$ のスペクトルの $\frac{1}{T}$ 倍である。

フィルタの出力は周波数 $250\text{Hz}$ の正弦波になる。その振幅は何 V か。根号と $\pi$ を用いた正確な値で答えよ。

連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (1000\pi t)}{\pi t}\right)}^2\cos (3000\pi t)$$
を考える（$t$ は時刻で単位は s、$t=0$ での値は極限値で定める）。この信号を標本化周波数 $f_s$ で等間隔に標本化し、理想低域通過フィルタで元の信号を復元する（帯域通過標本化のように、低域通過フィルタ以外の復元方法は考えない）。

この方式では、$x(t)$ のスペクトルの最高周波数を $f_{\max }$（$|f|>f_{\max }$ で $X(f)=0$ となる最小の値）とすると、$f_s>2f_{\max }$ のときにエイリアシングを起こさずに $x(t)$ を完全に復元できる。この $2f_{\max }$ をナイキストレート $f_N$ とよぶ。$f_N$ は何 Hz か。整数で求めよ。

ただし、フーリエ変換を $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ で定め、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|\le W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ の矩形関数であることを用いてよい。

$t$ を時刻（単位は s）とし、連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (2\pi \cdot 400t)}{\pi t}\right)}^2\cos (2\pi \cdot 1500t)$$
を考える（$t=0$ では連続になるように値を定める）。フーリエ変換は $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$（$f$ は周波数で単位は Hz）で定義し、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|<W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ となる矩形関数であることを用いてよい。

この信号を一定の標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、理想低域通過フィルタで復元する（帯域通過標本化は考えない）。$X(f)\ne 0$ となる周波数 $|f|$ の上限を $B$ とするとき、ナイキストレート $2B$ は何 Hz か。整数で答えよ。