実数値の連続時間信号 のフーリエ変換 （ は周波数）は、 の範囲でだけ でない値をとり、それ以外の では である。この信号を標本化周波数 で理想的に標本化する。標本化した信号のスペクトルは を の整数倍ずつずらした複製 （ は整数）の和になる。
を の範囲で選ぶとき、複製どうしが重ならない（エイリアシングが起きない）ような は、ある閉区間をなす。その区間の最小値と最大値（単位 kHz）を、この順に組で答えよ。ただし、複製の端どうしが接する場合は重ならないとみなす。
帯域通過信号の標本化
スペクトルが にある帯域通過信号について、複製 が重ならない条件 から、エイリアシングが起きない標本化周波数を求められる
前提
- 標本化定理とエイリアシング （大学物理 信号処理・通信工学）
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- 標本化定理とエイリアシング （大学物理 信号処理・通信工学）
説明
無線の中間周波信号のように、スペクトルが 付近にはなく の帯域だけにある信号を帯域通過信号といいます。ナイキスト条件 に従うと非常に高い標本化周波数が必要になりますが、実は帯域幅 の 2 倍程度の でも、複製のスペクトルが重ならないようにうまく選べばエイリアシングは起きません。この技能では、その「使ってよい の範囲」を条件 から求めます。高い周波数の信号を低速の A/D 変換器で取り込む（アンダーサンプリング）設計に使います。
なぜそうしてよいのか
周期 で標本化すると、標本化された信号のスペクトルは元のスペクトル を ずつずらした複製 （ は整数）をすべて足したものになります。複製どうしが重ならなければ、帯域通過フィルタで元の帯域だけを取り出して信号を復元できます。 は正の帯域 と、それを鏡に映した負の帯域 の 2 つからなることに注意します（実数の信号では必ずペアになります）。
正の帯域 に重なりうるのは、主に負の帯域をずらした複製 です。正の帯域が、 と の 2 つの複製のすき間にちょうど収まればよいので、
が条件になります。これを について解くと です（ のときは右側の制限がなく、 というナイキスト条件に戻ります）。この区間が空でないためには 、すなわち が必要です。このとき なので、正の帯域をずらした複製どうし（間隔 ）も重なりません。
したがって、使える は （ は小数部分を切り捨てた整数）の整数で、 ごとに許される の区間が 1 つずつあります。下端 は が大きいほど小さいので、最も低い標本化周波数は最大の で得られます。なお、等号のときは複製の端どうしが接するぎりぎりの状態で、実際の設計では余裕をもたせます。
手順
帯域の下端 、上端 と帯域幅 を確認する
使える整数 の範囲を求める：
各 について許される区間 を計算する（ なら ）
与えられた がどれかの区間に入るかを判定する。最小の を求めるときは、最大の の区間の下端 を答える
例題
スペクトルが にある帯域通過信号を標本化する。複製 が互いに重ならない（端どうしが接するのは許す）ような標本化周波数 のうち、最小のものは何 kHz か。分数または小数の正確な値で求めよ。
例題の解答
手順 1：、（単位 kHz）、。
手順 2： なので、使える は 。
手順 3：最大の のとき
となり、区間は空でない。（ほかの では下端 が より大きい。）
手順 4：下端 は が大きいほど小さいので、最小の標本化周波数は の下端 。これはナイキスト条件の の 5 分の 1 である。
答え:
よくある誤り
帯域幅の 2 倍 以上なら、どんな でもよいとしてしまう誤り。例えば上の例で とすると、 の区間 にも の区間 にも入らず、エイリアシングが起きる。正しくは を満たす区間に入るかを確かめる
の上限を確かめず、 だけを計算してしまう誤り。例えば上の例で とすると だが、 より上端が下端より小さく区間は空になる。正しくは の範囲で考える
負の周波数側の帯域 を忘れ、正の帯域の複製どうしの重なり（）だけを調べてしまう誤り。正しくは、負の帯域をずらした複製 も正の帯域に重ならないことが必要で、そこから が出てくる
最小の を求めるのに、区間の上端 を答えてしまう誤り。正しくは最大の の区間の下端
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
実数値の連続時間信号 （ は時刻で単位は s）のフーリエ変換 は、 の範囲で でなく、それ以外の周波数では である（帯域通過信号）。
この信号を標本化周波数 で理想的に標本化する（理想インパルス列による標本化）。標本化した信号の通過域が の理想帯域通過フィルタに通すことで、 を完全に復元したい。復元できるのは、標本化によって現れるスペクトルの複製のうち、元のスペクトル以外のものが帯域 に幅をもって重ならないときである。複製が端点で接するだけの場合は、復元に影響しないものとする。
を kHz 単位で表した値が を満たす整数であるとき、 を完全に復元できる をすべて求めよ。答えは kHz 単位の数値の集合で答えよ。
実数値の連続時間信号 のフーリエ変換 （ は周波数）は、 の範囲でだけ でない値をとり、それ以外の では である（帯域通過信号）。この信号を標本化周波数 で理想的に（インパルス列をかけて）標本化すると、標本化後の信号のスペクトルは
となる。ここで、 が でない区間を ずらした複製どうし（ は整数、正の周波数側の帯域と負の周波数側の帯域の両方を含む）が互いに重ならないとき「エイリアシングが起きない」という（区間の端点で接するだけのときは重ならないとみなす）。を kHz 単位で表した値が 以下の正の整数であるとき、エイリアシングが起きない の値（kHz 単位の数値）をすべて求めよ。