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標本化定理とエイリアシング

標本化周波数 で標本化した正弦波が理想低域通過フィルタで再構成されたときに現れる見かけの周波数（ を の整数倍だけずらして に折り返した値）を求め、ナイキスト条件 を判定できる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  7. 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
  8. 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
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  10. 因数分解 （中学数学 数と式）
  11. 3 次式までの展開と因数分解 （数学I 数と式）
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  13. 多項式の微分 （数学II 微分法と積分法）
  14. 多項式の不定積分 （数学II 微分法と積分法）
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  18. 関数の極限 （数学III 極限）
  19. 積と商の微分 （数学III 微分法）
  20. 合成関数の微分 （数学III 微分法）
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  22. おうぎ形の弧の長さと面積 （算数 平面図形）
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  24. 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
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  30. 弧度法と単位円による三角関数 （数学II 三角関数）
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  32. 加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式 （数学II 三角関数）
  33. 三角関数の導関数 （数学III 微分法）
  34. 根号の乗除と加減 （中学数学 数と式）
  35. 指数の拡張と指数関数 （数学II 指数関数と対数関数）
  36. 対数の定義と性質 （数学II 指数関数と対数関数）
  37. 自然対数の底 （数学III 極限）
  38. 指数関数・対数関数の導関数 （数学III 微分法）
  39. 基本的な関数の不定積分 （数学III 積分法）
  40. 置換積分 （数学III 積分法）
  41. 三角関数の積分 （数学III 積分法）
  42. 部分積分 （数学III 積分法）
  43. 無限等比級数と無限級数 （数学III 極限）
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  45. 定積分の計算 （数学II 微分法と積分法）
  46. 定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数 （数学III 積分法）
  47. 広義積分 （大学数学 微分積分）
  48. 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
  49. 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
  50. 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
  51. 比例・反比例の式とグラフ （中学数学 関数）
  52. 関数 の式と変域 （中学数学 関数）
  53. 平方完成と 2 次関数のグラフ （数学I 2次関数）
  54. 2 次不等式 （数学I 2次関数）
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  56. 増減表と極値 （数学II 微分法と積分法）
  57. 関数の連続性と中間値の定理 （数学III 極限）
  58. 平均値の定理 （数学III 微分法）
  59. 第 2 次導関数とグラフの凹凸 （数学III 微分法）
  60. 増減・凹凸・漸近線とグラフ （数学III 微分法）
  61. テイラー展開 （大学数学 微分積分）
  62. べき級数と収束半径 （大学数学 微分積分）
  63. 複素数と 2 次方程式の虚数解 （数学II 複素数と方程式）
  64. オイラーの公式 （大学数学 微分積分）
  65. フーリエ変換 （大学数学 フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

連続的な信号を一定の時間間隔 ごとに値だけ取り出すことを標本化（サンプリング）といい、1 秒あたりの標本の数 を標本化周波数と呼びます。標本化周波数が低すぎると、高い周波数の正弦波が、まったく別の低い周波数の正弦波と区別できなくなります（エイリアシング）。この技能では、標本化した正弦波を再構成したときに現れる見かけの周波数を求め、元の信号を正しく復元できる条件 （ナイキスト条件）を満たしているか判定できるようになります。音声の録音、デジタル計測、動画で車輪が逆回転して見える現象などで使います。

なぜそうしてよいのか

周波数 の正弦波 を時刻 （ は整数）で標本化すると、標本値は です。ここで を （ は整数）に置き換えると、角度は だけ変わりますが、 は整数なので の値は変わりません。つまり周波数 と の正弦波は、標本の上ではまったく同じ値の列になります。さらに なので、周波数 は位相の符号を変えた周波数 と同じです。したがって、どの周波数も の整数倍だけずらして、さらに必要なら符号を変えることで、 の範囲のただ 1 つの周波数 に対応させられます（ を の何倍かを足し引きして に入れ、絶対値をとる）。

フーリエ変換で見ると、標本化した信号のスペクトルは、元のスペクトルを 間隔でずらしたものを無限に重ねた形になります（周波数 の成分が、 にも現れる）。標本列から連続信号を作り直す理想低域通過フィルタは、 の周波数成分だけをそのまま通し、 の成分を完全に取り除くフィルタです。このフィルタを通すと、重なった成分のうち に入る だけが残るので、 のとき出力は周波数 の正弦波になります。これが「見かけの周波数」です。 ちょうどになる場合は、成分がフィルタの境界の上に乗るので出力は定まりません。実際、例えば の標本 はすべて 0 になり、振幅や位相の情報が失われることがあります。

信号に含まれる最高の周波数 が より小さければ、元の成分はすべてはじめから に入っていて、ずらした複製と重ならないので、元の信号がそのまま復元されます。これがナイキスト条件 で、 をナイキスト周波数と呼びます。上で見たように では復元できないことがあるので、条件は等号なしの不等号です。

手順

  1. 正弦波の周波数 と標本化周波数 を確認し、ナイキスト周波数 を求める

  2. ナイキスト条件を判定する: （）なら、見かけの周波数は のまま（エイリアシングなし）

  3. 条件を満たさないときは、 に最も近い整数 を選び、 を求める（これで に入る）

  4. その絶対値 を求める。 なら、これが見かけの周波数（ ちょうどのときはフィルタの境界にあたり、出力は定まらない）

例題

周波数 の正弦波 を標本化周波数 で標本化し、遮断周波数 の理想低域通過フィルタ（ 未満の成分をそのまま通し、 を超える成分を完全に取り除く）で連続信号に再構成した。出力に現れる正弦波の周波数 [kHz] を求めよ。

例題の解答

【手順 1】、、ナイキスト周波数は 。

【手順 2】 なのでナイキスト条件を満たさず、エイリアシングが起こる。

【手順 3】 に最も近い整数は 。 で、 に入っている。

【手順 4】。 なので、これがフィルタを通って出力に現れる見かけの周波数である。

（確かめ: 標本値は で、 の正弦波 の標本と一致する。）

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること