0 次ホールドによる再構成

0 次ホールドの周波数特性 $∣ H (f) ∣ = T \frac{sin ( π f T )}{π f T}$ を使い、標本列を階段状に保持して低域通過フィルタに通したときの出力正弦波の振幅を求められる

前提

標本化定理とエイリアシング（大学物理信号処理・通信工学）

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算数中学高校大学大学院

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標本化定理とエイリアシング（大学物理信号処理・通信工学）

説明

D/A 変換器の多くは、標本値 $x (n T)$ を次の標本時刻まで一定に保って階段状の波形を出します。これを 0 次ホールドといいます（ $T = 1/ f_{s}$ は標本化周期）。階段波を低域通過フィルタでなめらかにすると元の正弦波が戻りますが、その振幅は理想的な再構成に比べて $\frac{sin ( π f T )}{π f T}$ 倍に少しだけ小さくなります。この技能では、0 次ホールドの周波数特性 $∣ H (f) ∣ = T \frac{sin ( π f T )}{π f T}$ を使って、出力正弦波の振幅を求めます。

なぜそうしてよいのか

0 次ホールドの出力は、幅 $T$ ・高さ 1 の矩形パルス $p (t)$ （ $0 \leq t < T$ で 1、ほかで 0）を使って $y (t) = \sum_{n} x (n T) p (t - n T)$ と書けます。これは「標本値の重みをもつインパルスの列 $x_{s} (t) = \sum_{n} x (n T) δ (t - n T)$ 」を、インパルス応答 $p (t)$ の系に通したものと見なせます（ $δ$ はデルタ関数で、 $p (t)$ と畳み込むと $p (t - n T)$ を取り出す）。したがって $y$ のスペクトルは「 $x_{s}$ のスペクトル」×「 $p$ のフーリエ変換 $H (f)$ 」です。

$H (f)$ は直接計算できます。
$H (f) = \int_{0}^{T} e^{- i 2 π f t} d t = \frac{1 - e ^{- i 2 π f T}}{i 2 π f} = e^{- iπ f T} \frac{e ^{iπ f T} - e ^{- iπ f T}}{2 i} \cdot \frac{1}{π f} = T e^{- iπ f T} \frac{sin ( π f T )}{π f T}$
なので $∣ H (f) ∣ = T \frac{sin ( π f T )}{π f T}$ です。 $f \to 0$ では $\frac{sin x}{x} \to 1$ より $∣ H ∣ \to T$ 、 $f = f_{s}$ で 0 になります。

一方、インパルス列 $\sum_{n} δ (t - n T)$ はフーリエ級数で $\frac{1}{T} \sum_{m} e^{i 2 π m f_{s} t}$ と書けるので、 $x_{s}$ のスペクトルは $\frac{1}{T} \sum_{m} X (f - m f_{s})$ 、つまり元のスペクトルの複製を $\frac{1}{T}$ 倍して並べたものです。ナイキスト条件を満たしていれば、通過域の利得 1・遮断周波数 $f_{s} /2$ の理想低域通過フィルタは $m = 0$ の複製だけを通すので、出力のスペクトルは $\frac{1}{T} H (f) X (f)$ になります。よって周波数 $f$ ・振幅 $A$ の正弦波は、振幅
$A \cdot \frac{∣ H ( f ) ∣}{T} = A \frac{sin ( π f T )}{π f T}$
の正弦波として出てきます（位相は $π f T$ だけ遅れますが振幅には影響しません）。 $H (f)$ の $T$ と複製の $\frac{1}{T}$ が打ち消し合う点に注意しましょう。

手順

標本化周期 $T = \frac{1}{f _{s}}$ と入力正弦波の周波数 $f$ ・振幅 $A$ を確認し、 $f < \frac{f _{s}}{2}$ （ナイキスト条件）を満たすことを確かめる
$x = π f T = \frac{π f}{f _{s}}$ （弧度法）を計算する
0 次ホールドの特性から振幅の倍率 $\frac{∣ H ( f ) ∣}{T} = \frac{sin x}{x}$ を求める
出力振幅を $A \frac{sin ( π f T )}{π f T}$ として求める（低域通過フィルタは通過域の利得 1・遮断周波数 $f_{s} /2$ の理想フィルタとする）

例題

振幅 $1 V$ ・周波数 $2 kHz$ の正弦波を標本化周波数 $f_{s} = 8 kHz$ で標本化し、各標本値を次の標本時刻まで保持する 0 次ホールドで階段波にしてから、通過域の利得 1・遮断周波数 $4 kHz$ の理想低域通過フィルタに通した。出力の正弦波の振幅は何 V か。正確な値で求めよ。

例題の解答

手順 1： $T = \frac{1}{8000} s$ 、 $f = 2000 Hz$ 、 $A = 1$ 。 $f = 2 kHz < \frac{f _{s}}{2} = 4 kHz$ なのでエイリアシングはなく、出力は $2 kHz$ の正弦波になる。

手順 2： $x = π f T = π \cdot \frac{2000}{8000} = \frac{π}{4}$ 。

手順 3：振幅の倍率は
$\frac{sin x}{x} = \frac{sin ( π /4 )}{π /4} = \frac{2}{2} \cdot \frac{4}{π} = \frac{2 2}{π}$

手順 4：出力振幅は $1 \times \frac{2 2}{π} = \frac{2 2}{π} \approx 0.90 V$ 。

答え: $\frac{2 2}{π}$

よくある誤り

$∣ H (f) ∣$ の係数 $T$ をそのまま振幅に掛け、出力振幅を $A T \frac{sin ( π f T )}{π f T}$ としてしまう誤り。標本化で複製が $\frac{1}{T}$ 倍されるので $T$ は打ち消し合い、正しくは $A \frac{sin ( π f T )}{π f T}$ （低域通過フィルタの通過域利得が 1 のとき）
角周波数で書くときに $\frac{sin ( ω T )}{ω T}$ としてしまう誤り。 $ω = 2 π f$ なので、正しくは $\frac{sin ( ω T /2 )}{ω T /2}$ 。上の例なら $ω T /2 = π /4$ で、 $ω T = π /2$ ではない
$π$ を落として $\frac{sin ( f T )}{f T}$ や、 $sin$ の引数を度数法で計算してしまう誤り。正しくは弧度法で $x = π f T$ （例： $f = f_{s} /4$ なら $x = π /4 rad$ ）
0 次ホールドでも低域通過フィルタを通せば元の振幅 $A$ がそのまま戻るとしてしまう誤り。正しくは周波数が高いほど減衰し、 $f$ が $f_{s} /2$ に近づくと倍率は $\frac{sin ( π /2 )}{π /2} = \frac{2}{π} \approx 0.64$ まで下がる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
周波数 $f_{0} = 250 Hz$ 、振幅 $2 V$ の正弦波電圧 $x (t) = 2 sin (2 π f_{0} t)$ を、標本化周期 $T = 1.0 ms$ （標本化周波数 $f_{s} = 1/ T = 1000 Hz$ ）で標本化する。各標本値 $x (n T)$ を次の標本時刻まで保持して（0 次ホールド）階段状の信号を作り、それを通過域の利得が $1$ 、遮断周波数が $f_{s} /2 = 500 Hz$ の理想低域通過フィルタに通す。
0 次ホールドは、標本列をインパルス列 $x_{s} (t) = \sum_{n} x (n T) δ (t - n T)$ とみなし、それをインパルス応答 $h (t) = 1 (0 \leq t < T)$ 、 $h (t) = 0$ （それ以外）の系に通すものと考える。この系の周波数特性の大きさは
$∣ H (f) ∣ = T \frac{sin ( π f T )}{π f T}$
であり、インパルス列 $x_{s} (t)$ のスペクトルのうち $∣ f ∣ < f_{s} /2$ の部分は、もとの信号 $x (t)$ のスペクトルの $\frac{1}{T}$ 倍である。
フィルタの出力は周波数 $250 Hz$ の正弦波になる。その振幅は何 V か。根号と $π$ を用いた正確な値で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
連続時間信号
$x (t) = cos (2 π \cdot 7000 t) + sin (2 π \cdot 13000 t)$
（ $t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_{s} = 10 kHz$ （標本化周期 $T = 1/ f_{s}$ ）で理想的に標本化し、標本列 $x [n] = x (n T)$ （ $n$ は整数）を得た。この標本列を次の 2 段で連続時間信号に戻す。
- 第 1 段（0 次ホールド）: $n T \leq t < (n + 1) T$ の区間で出力を $x [n]$ に保つ階段状の信号 $x_{h} (t)$ をつくる。
- 第 2 段: $x_{h} (t)$ を、通過域 $∣ f ∣ < 5 kHz$ で利得 $1$ （位相遅れなし）、それ以外の周波数で利得 $0$ の理想低域通過フィルタに通す。
最終的な出力 $y (t)$ は単一周波数の正弦波になる。その振幅を正確な値で求めよ。必要なら $sin \frac{3 π}{10} = \frac{1 + 5}{4}$ を用いてよい。