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信号処理・通信工学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理信号処理・通信工学

連続時間信号
$x (t) = cos (2 π \cdot 7000 t) + sin (2 π \cdot 13000 t)$
（ $t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_{s} = 10 kHz$ （標本化周期 $T = 1/ f_{s}$ ）で理想的に標本化し、標本列 $x [n] = x (n T)$ （ $n$ は整数）を得た。この標本列を次の 2 段で連続時間信号に戻す。

第 1 段（0 次ホールド）: $n T \leq t < (n + 1) T$ の区間で出力を $x [n]$ に保つ階段状の信号 $x_{h} (t)$ をつくる。
第 2 段: $x_{h} (t)$ を、通過域 $∣ f ∣ < 5 kHz$ で利得 $1$ （位相遅れなし）、それ以外の周波数で利得 $0$ の理想低域通過フィルタに通す。

最終的な出力 $y (t)$ は単一周波数の正弦波になる。その振幅を正確な値で求めよ。必要なら $sin \frac{3 π}{10} = \frac{1 + 5}{4}$ を用いてよい。

この問題で使うもの

標本化定理とエイリアシング（説明と入口の問題）
0 次ホールドによる再構成（説明と入口の問題）
三角関数の合成（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（68 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず標本列 $x [n]$ を求め、 $n$ が整数であることを使って各成分の周波数を $0 \sim f_{s} /2$ の範囲に折り返します。2 つの成分が同じ周波数に重なることに注意しましょう。

ヒント 2

0 次ホールドは幅 $T$ の矩形パルスをインパルス応答にもつフィルタとみなせ、その周波数特性は $T \frac{sin ( π f T )}{π f T} e^{- j π f T}$ です。理想 LPF は $∣ f ∣ < 5 kHz$ のベースバンド成分だけを残します。

ヒント 3

$x [n] = cos (0.6 π n) + sin (0.6 π n) = 2 cos (0.6 π n - π /4)$ なので、ベースバンドには振幅 $2$ 、周波数 $3 kHz$ の成分があります。これに 0 次ホールドの $f = 3 kHz$ での振幅特性 $\frac{sin ( 0.3 π )}{0.3 π}$ （ $1/ T$ で正規化したもの）を掛けます。

答えと解説

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\frac{5 2 ( 1 + 5 )}{6 π}

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解説を読む

1. 標本列（エイリアシング） $T = 1 0^{- 4} s$ なので
$x [n] = cos (2 π \cdot 0.7 n) + sin (2 π \cdot 1.3 n) = cos (1.4 π n) + sin (2.6 π n)$
$n$ は整数なので $2 π n$ の整数倍を加減しても値は変わらない。
$cos (1.4 π n) = cos (1.4 π n - 2 π n) = cos (- 0.6 π n) = cos (0.6 π n)$
$sin (2.6 π n) = sin (2.6 π n - 2 π n) = sin (0.6 π n)$
よって
$x [n] = cos (0.6 π n) + sin (0.6 π n) = 2 cos (0.6 π n - \frac{π}{4})$
これは $7 kHz$ と $13 kHz$ の成分がどちらも $f_{s} /2 = 5 kHz$ を超えているため、 $∣7 - 10∣ = 3 kHz$ 、 $∣13 - 10∣ = 3 kHz$ にエイリアスし、同じ周波数で重なったものである。標本列は、 $3 kHz$ の正弦波 $x_{a} (t) = 2 cos (2 π \cdot 3000 t - \frac{π}{4})$ を標本化したものと一致する（ $2 π \cdot 3000 \cdot n T = 0.6 π n$ ）。

2. 0 次ホールドの周波数特性 $x_{h} (t) = \sum_{n} x [n] p (t - n T)$ 、 $p (t)$ は $0 \leq t < T$ で $1$ 、それ以外で $0$ の矩形パルスである。インパルス列 $x_{δ} (t) = \sum_{n} x [n] δ (t - n T)$ を $p (t)$ に通したものと見なせ、
$P (f) = \int_{0}^{T} e^{- j 2 π f t} d t = T \frac{sin ( π f T )}{π f T} e^{- j π f T}$
また $x_{δ} (t)$ のスペクトルは $\frac{1}{T} \sum_{k} X_{a} (f - k f_{s})$ で、 $∣ f ∣ < 5 kHz$ の部分は $\frac{1}{T} X_{a} (f)$ （ $\pm 3 kHz$ の線スペクトル）だけである。

3. 低域通過フィルタ後の出力 理想 LPF は $∣ f ∣ < 5 kHz$ だけを通すので、 $7, 13, 17, \dots kHz$ のイメージ成分は除かれ、 $\pm 3 kHz$ の成分だけが残る。その複素利得は
$\frac{1}{T} P (f)_{f = 3000} = \frac{sin ( 0.3 π )}{0.3 π} e^{- j 0.3 π}$
したがって
$y (t) = 2 \frac{sin ( 0.3 π )}{0.3 π} cos (2 π \cdot 3000 (t - \frac{T}{2}) - \frac{π}{4})$
振幅は
$2 \cdot \frac{sin \frac{3 π}{10}}{\frac{3 π}{10}} = 2 \cdot \frac{1 + 5}{4} \cdot \frac{10}{3 π} = \frac{5 2 ( 1 + 5 )}{6 π}$
（数値では $\approx 1.214$ 。）

別解

$f_{s} = 10$ kHz で標本化すると、 $x [n] = cos (2 π \cdot 0.7 n) + sin (2 π \cdot 1.3 n)$ 。 $n$ が整数なので $cos (2 π \cdot 0.7 n) = cos (2 π \cdot 0.3 n)$ 、 $sin (2 π \cdot 1.3 n) = sin (2 π \cdot 0.3 n)$ となり（7 kHz と 13 kHz はどちらも 3 kHz に折り返す）、 $x [n] = cos (ω_{0} n) + sin (ω_{0} n) = 2 cos (ω_{0} n - π /4)$ 、 $ω_{0} = 2 π \cdot 0.3$ （3 kHz 相当）。標本列の振幅は $2$ 。
0 次ホールドの周波数応答は $H_{h} (f) = \frac{sin ( π f T )}{π f T} e^{- j π f T}$ （大きさ $∣ sinc ∣$ ）。ホールド出力のスペクトルは、標本列のスペクトルの繰り返し（3 kHz、7 kHz、13 kHz などの像）に $H_{h}$ を掛けたものである。理想 LPF（ $∣ f ∣ < 5$ kHz）は 3 kHz 成分だけを通し、7 kHz などの像は除く。したがって出力は単一周波数 3 kHz の正弦波で、振幅は
$2 \cdot \frac{sin ( 0.3 π )}{0.3 π} = 2 \cdot \frac{( 1 + 5 ) /4}{3 π /10} = \frac{5 2 ( 1 + 5 )}{6 π}$ 。
数値: $sin (0.3 π) \approx 0.8090$ 、 $0.8090/0.9425 \approx 0.8584$ 、 $\times 1.4142 \approx 1.214$ 。式の数値 $5 \times 1.4142 \times 3.2361/ (6 \times 3.1416) = 22.88/18.85 \approx 1.214$ で一致。

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