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信号処理・通信工学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理信号処理・通信工学

実数値の連続時間信号 $x (t)$ のフーリエ変換 $X (f)$ （ $f$ は周波数）は、 $21 kHz < ∣ f ∣ < 25 kHz$ の範囲でだけ $0$ でない値をとり、それ以外の $f$ では $X (f) = 0$ である（帯域通過信号）。この信号を標本化周波数 $f_{s}$ で理想的に（インパルス列をかけて）標本化すると、標本化後の信号のスペクトルは
$X_{s} (f) = f_{s} m = - \infty \sum \infty X (f - m f_{s})$
となる。ここで、 $X (f)$ が $0$ でない区間を $m f_{s}$ ずらした複製どうし（ $m$ は整数、正の周波数側の帯域と負の周波数側の帯域の両方を含む）が互いに重ならないとき「エイリアシングが起きない」という（区間の端点で接するだけのときは重ならないとみなす）。

$f_{s}$ を kHz 単位で表した値が $16$ 以下の正の整数であるとき、エイリアシングが起きない $f_{s}$ の値（kHz 単位の数値）をすべて求めよ。

この問題で使うもの

帯域通過信号の標本化（説明と入口の問題）
標本化定理とエイリアシング（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（67 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ベースバンドのナイキスト条件 $f_{s} \geq 2 f_{H}$ ではなく、正の帯域 $(21, 25)$ と、負の帯域 $(- 25, - 21)$ を $f_{s}$ の整数倍ずらした複製とが重ならない条件を考えよう。

ヒント 2

負の帯域の複製が、ある整数 $k$ について「 $k - 1$ 番目は正の帯域の左」「 $k$ 番目は右」に収まればよい。これは $\frac{2 f _{H}}{k} \leq f_{s} \leq \frac{2 f _{L}}{k - 1}$ と書ける。

ヒント 3

$f_{H} = 25$ , $f_{L} = 21$ で、 $k$ は $1 \leq k \leq ⌊ f_{H} / B ⌋ = 6$ の範囲をとる。 $k = 3, 4, 5, 6$ のそれぞれについて範囲を求め、その中の $16$ 以下の整数を拾う。

答えと解説

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{10, 13, 14}

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解説を読む

以下、周波数はすべて kHz 単位の数値で書く。 $f_{L} = 21$ , $f_{H} = 25$ 、帯域幅は $B = f_{H} - f_{L} = 4$ である。

帯域通過標本化の条件

$X (f)$ が $0$ でないのは、正の帯域 $P = (21, 25)$ と負の帯域 $N = (- 25, - 21)$ である。 $X_{s} (f)$ は周期 $f_{s}$ の周期関数なので、エイリアシングが起きない条件は「 $P$ のすべての平行移動 $P + m f_{s}$ と $N$ のすべての平行移動 $N + m^{'} f_{s}$ が重ならない」ことである（ $P$ どうし、 $N$ どうしの複製は、 $f_{s} \geq B = 4$ なら重ならない。 $f_{s} < 4$ なら $P$ と $P + f_{s}$ が重なるのでエイリアシングが起きる）。

$N$ を $k f_{s}$ だけ右へずらした区間 $(k f_{s} - 25, k f_{s} - 21)$ が $P = (21, 25)$ と重ならない条件を考える。整数 $k$ について、 $N + k f_{s}$ が $P$ の左側にあるか右側にあればよい。 $N + (k - 1) f_{s}$ が $P$ の左側（ $(k - 1) f_{s} - 21 \leq 21$ ）、 $N + k f_{s}$ が $P$ の右側（ $k f_{s} - 25 \geq 25$ ）となるような整数 $k (\geq 1)$ が存在することが必要十分で、
$\frac{2 f _{H}}{k} \leq f_{s} \leq \frac{2 f _{L}}{k - 1} (1)$
（ $k = 1$ のときは右辺の条件はなく $f_{s} \geq 2 f_{H}$ ）。 $(1)$ が成り立つ $f_{s}$ があるためには $\frac{2 f _{H}}{k} \leq \frac{2 f _{L}}{k - 1}$ 、すなわち $k \leq \frac{f _{H}}{B} = \frac{25}{4}$ より $k \leq 6$ が必要である。

各 $k$ での許される範囲

$2 f_{H} = 50$ , $2 f_{L} = 42$ を $(1)$ に代入すると
- $k = 1$ : $f_{s} \geq 50$
- $k = 2$ : $25 \leq f_{s} \leq 42$
- $k = 3$ : $\frac{50}{3} \leq f_{s} \leq 21$
- $k = 4$ : $12.5 \leq f_{s} \leq 14$
- $k = 5$ : $10 \leq f_{s} \leq 10.5$
- $k = 6$ : $\frac{25}{3} \leq f_{s} \leq 8.4$

$f_{s} \leq 16$ の正の整数でこれらに入るのは、 $k = 4$ の $f_{s} = 13, 14$ と $k = 5$ の $f_{s} = 10$ だけである（ $k = 6$ の範囲 $8.33 \dots \leq f_{s} \leq 8.4$ には整数がない。 $k = 3$ の範囲は $16.6 \dots$ 以上）。

確認

$f_{s} = 14$ : $N + 28 = (3, 7)$ , $N + 42 = (17, 21)$ , $N + 56 = (31, 35)$ 。 $P = (21, 25)$ とは $21$ で接するだけで重ならない。
$f_{s} = 13$ : $N + 39 = (14, 18)$ , $N + 52 = (27, 31)$ で、 $P$ と重ならない。
$f_{s} = 10$ : $N + 40 = (15, 19)$ , $N + 50 = (25, 29)$ で、 $P$ とは $25$ で接するだけ。
たとえば $f_{s} = 12$ では $N + 48 = (23, 27)$ が $P$ と重なり、 $f_{s} = 15$ では $N + 45 = (20, 24)$ が、 $f_{s} = 16$ では $N + 48 = (23, 27)$ が、 $f_{s} = 11$ では $N + 44 = (19, 23)$ が、 $f_{s} = 9$ では $N + 45 = (20, 24)$ が重なる。 $f_{s} \leq 8$ は $f_{s} < \frac{25}{3}$ なので $(1)$ を満たす $k$ がない。

したがって、求める $f_{s}$ は ${10, 13, 14}$ である。なお、いずれもナイキスト周波数 $2 f_{H} = 50$ より低い標本化周波数で、帯域通過標本化（アンダーサンプリング）によって信号を復元できる。

別解

帯域は $f_{L} = 21$ , $f_{H} = 25$ kHz、帯域幅 $B = 4$ kHz。正側の帯域 $(21, 25)$ を $m f_{s}$ ずらしたものが、負側の帯域 $(- 25, - 21)$ をずらしたものを含む他のどの複製とも重ならない条件を考える。

帯域通過標本化の条件は、ある整数 $n \geq 1$ について
$\frac{2 f _{H}}{n} \leq f_{s} \leq \frac{2 f _{L}}{n - 1} (n = 1 では上限なし)$
であり、 $n \leq ⌊ f_{H} / B ⌋ = ⌊ 25/4 ⌋ = 6$ でなければ区間が空になる。

$n = 6$ : $\frac{50}{6} \leq f_{s} \leq \frac{42}{5}$ すなわち $8.33 \dots \leq f_{s} \leq 8.4$ → 整数なし
$n = 5$ : $10 \leq f_{s} \leq 10.5$ → $f_{s} = 10$
$n = 4$ : $12.5 \leq f_{s} \leq 14$ → $f_{s} = 13, 14$
$n = 3$ : $16.67 \dots \leq f_{s} \leq 21$ → 16 以下の整数なし
$n = 2$ : $25 \leq f_{s} \leq 42$ 、 $n = 1$ : $f_{s} \geq 50$ → 16 以下なし
$n \geq 7$ : 区間が空

検算: $f_{s} = 10$ では複製は正側 $(1, 5), (11, 15), (21, 25)$ など、負側 $(- 5, - 1), (5, 9), (15, 19)$ などで、 $(1, 5)$ と $(5, 9)$ は端点で接するだけ。 $f_{s} = 14$ では $(3, 7)$ と $(7, 11)$ 、 $(17, 21)$ と $(21, 25)$ が接するだけ。 $f_{s} = 13$ では $(8, 12), (21, 25), (1, 5), (14, 18)$ などで重ならない。一方 $f_{s} = 12$ では $(21, 25) - 24 = (- 3, 1)$ と $(- 25, - 21) + 24 = (- 1, 3)$ が重なり、エイリアシングが起きる。

よって $f_{s} = 10, 13, 14$ 。

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