信号処理・通信工学の問題

正弦波信号 $x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t)$ を、$B$ ビットの一様量子化器をもつ A/D 変換器で標本化・量子化する。量子化器の入力範囲は $-V\le x\le V$（$V>0$）で、量子化レベル数は $2^B$、量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^B}$ である。信号の振幅は $A=\frac{V}{2}$ であり、量子化器が飽和することはない。

標本化周波数は $f_s=2.56\text{MHz}$ である。量子化誤差は次の性質をもつとする。
- 区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ 上の一様分布に従い、信号とは無相関である。
- その電力は周波数帯域 $-\frac{f_s}{2}\le f\le \frac{f_s}{2}$ に一様に分布している（白色）。

量子化後のディジタル信号を、通過帯域 $|f|\le f_B$（$f_B=20\text{kHz}$）の理想低域通過フィルタに通す。信号周波数 $f_0$ は $0<f_0<f_B$ を満たし、信号はこのフィルタで減衰しない。

フィルタ出力での信号対雑音比（信号電力と量子化雑音電力の比）を $\text{SNR}$ とし、そのデシベル値を $10{\log }_{10}\text{SNR}$ と定義する。フィルタ出力での SNR が $96\text{dB}$ 以上となるような最小の正の整数 $B$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

入力範囲が $-V$ から $V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（$N$ は正の整数）でアナログ信号を量子化する。量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ であり、量子化誤差は区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、信号と無相関であるとする。

この量子化器に、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波 $x(t)=\frac{V}{2}\sin (2\pi f_{0}t)$ を入力する（入力範囲を超えることはない）。正弦波の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とするとき、SQNR が $90\text{dB}$ 以上になるような最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$, ${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

入力範囲が $-V\le v\le V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（量子化レベルの数 $2^N$、量子化幅 $\Delta =\frac{2V}{2^N}$）で、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波信号を量子化する。$N$ は正の整数とする。

量子化誤差は $-\frac{\Delta }{2}$ から $\frac{\Delta }{2}$ の範囲に一様に分布し、信号と無相関であるとみなす（このとき量子化雑音の平均電力は $\frac{{\Delta }^2}{12}$ である）。信号の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とする。

SQNR が $70\text{dB}$ 以上になる最小の $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

連続時間信号
$$x(t)=\cos (2\pi \cdot 7000t)+\sin (2\pi \cdot 13000t)$$
（$t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s=10\text{kHz}$（標本化周期 $T=1/f_s$）で理想的に標本化し、標本列 $x[n]=x(nT)$（$n$ は整数）を得た。この標本列を次の 2 段で連続時間信号に戻す。

• 第 1 段（0 次ホールド）: $nT\le t<(n+1)T$ の区間で出力を $x[n]$ に保つ階段状の信号 $x_h(t)$ をつくる。
• 第 2 段: $x_h(t)$ を、通過域 $|f|<5\text{kHz}$ で利得 $1$（位相遅れなし）、それ以外の周波数で利得 $0$ の理想低域通過フィルタに通す。

最終的な出力 $y(t)$ は単一周波数の正弦波になる。その振幅を正確な値で求めよ。必要なら $\sin \frac{3\pi }{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ を用いてよい。

受信機のフロントエンドが、次の 3 段をこの順に縦続接続して構成されている。

• 第 1 段: 低雑音増幅器。電力利得 $20\text{dB}$、雑音指数（真数、雑音係数）$F_1=2$
• 第 2 段: 受動素子だけでできたミキサ（周波数変換器）。変換損失（電力の損失）$10\text{dB}$。この段は標準温度 $T_0=290\text{K}$ にあり、整合のとれた受動の損失回路とみなせる
• 第 3 段: 中間周波増幅器。雑音指数（真数）$F_3=5.1$

各段の入出力はすべて整合しており、雑音指数はすべて標準温度 $T_0$ を基準に定義されたものとする。受信機の入力には、信号とともに温度 $T_0$ の整合した信号源抵抗の熱雑音だけが加わっており、入力での信号対雑音比（SNR、電力比）は $30\text{dB}$ である。第 3 段の出力での SNR は何 dB か。正確な値で答えよ。ただし、各段は線形で、信号と雑音は同じ帯域幅で扱えるものとする。