信号処理・通信工学の問題

入力範囲が $-V$ から $V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（$N$ は正の整数）でアナログ信号を量子化する。量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ であり、量子化誤差は区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、信号と無相関であるとする。

この量子化器に、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波 $x(t)=\frac{V}{2}\sin (2\pi f_{0}t)$ を入力する（入力範囲を超えることはない）。正弦波の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とするとき、SQNR が $90\text{dB}$ 以上になるような最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$, ${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

入力範囲が $-V\le v\le V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（量子化レベルの数 $2^N$、量子化幅 $\Delta =\frac{2V}{2^N}$）で、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波信号を量子化する。$N$ は正の整数とする。

量子化誤差は $-\frac{\Delta }{2}$ から $\frac{\Delta }{2}$ の範囲に一様に分布し、信号と無相関であるとみなす（このとき量子化雑音の平均電力は $\frac{{\Delta }^2}{12}$ である）。信号の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とする。

SQNR が $70\text{dB}$ 以上になる最小の $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

帯域 $0\sim 4\text{kHz}$ の音声信号を、オーバーサンプリングを用いた A/D 変換器でディジタル化する。条件は次のとおりである。

• A/D 変換器は $N$ ビット（$N$ は正の整数）の一様量子化器で、入力範囲は $-V\sim V$、量子化ステップは $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ である。量子化誤差は信号と無相関で $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、その電力 $\frac{{\Delta }^2}{12}$ は $0\sim \frac{f_s}{2}$ の周波数範囲に一様に（白色に）分布するとする。標本化周波数は $f_s=256\text{kHz}$ である。
• 入力信号は振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波（周波数は $4\text{kHz}$ 未満）で、過負荷は起こらない。
• A/D 変換器の入力には、信号と無相関なアナログの白色雑音も含まれている。この雑音の電力は $0\sim 128\text{kHz}$ に一様に分布しており、この全帯域で測った信号対雑音比（量子化雑音を含まない）は $70\text{dB}$ である。
• A/D 変換後、遮断周波数 $4\text{kHz}$ の理想ディジタル低域通過フィルタ（通過域の利得 $1$）で $4\text{kHz}$ を超える成分をすべて取り除く。アナログ雑音と量子化雑音は互いに無相関とする。

フィルタ出力での信号対雑音比（アナログ雑音と量子化雑音の両方を含む）を $80\text{dB}$ 以上にするために必要な最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いてよい。

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波信号 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$ がある（$t$ は時刻で単位は s）。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号をアンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、その標本列を遮断周波数 $\frac{f_s}{2}$ の理想低域通過フィルタで復元する。次の 2 通りの実験を行った。

• 実験 1: $f_s=4000\text{Hz}$ で標本化・復元すると、周波数 $1300\text{Hz}$ の正弦波が得られた。
• 実験 2: $f_s=3000\text{Hz}$ で標本化・復元すると、周波数 $700\text{Hz}$ の正弦波が得られた。

両方の実験結果と矛盾しない $f_0$ の値（Hz）をすべて求めよ。

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$（$t$ は時刻で単位は s）がある。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、得られた標本列を遮断周波数 $f_s/2$ の理想低域通過フィルタで連続時間信号に復元したところ、復元された信号は 1 つの周波数の正弦波になり、その周波数は次のとおりであった。

• $f_s=3000\text{Hz}$ のとき $700\text{Hz}$
• $f_s=4000\text{Hz}$ のとき $1300\text{Hz}$
• $f_s=5000\text{Hz}$ のとき $1700\text{Hz}$

$f_0$ の値を Hz 単位で求めよ。