信号処理・通信工学の問題

入力範囲が $-V\le v\le V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（量子化レベルの数 $2^N$、量子化幅 $\Delta =\frac{2V}{2^N}$）で、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波信号を量子化する。$N$ は正の整数とする。

量子化誤差は $-\frac{\Delta }{2}$ から $\frac{\Delta }{2}$ の範囲に一様に分布し、信号と無相関であるとみなす（このとき量子化雑音の平均電力は $\frac{{\Delta }^2}{12}$ である）。信号の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とする。

SQNR が $70\text{dB}$ 以上になる最小の $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

正弦波信号 $x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t)$ を、$B$ ビットの一様量子化器をもつ A/D 変換器で標本化・量子化する。量子化器の入力範囲は $-V\le x\le V$（$V>0$）で、量子化レベル数は $2^B$、量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^B}$ である。信号の振幅は $A=\frac{V}{2}$ であり、量子化器が飽和することはない。

標本化周波数は $f_s=2.56\text{MHz}$ である。量子化誤差は次の性質をもつとする。
- 区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ 上の一様分布に従い、信号とは無相関である。
- その電力は周波数帯域 $-\frac{f_s}{2}\le f\le \frac{f_s}{2}$ に一様に分布している（白色）。

量子化後のディジタル信号を、通過帯域 $|f|\le f_B$（$f_B=20\text{kHz}$）の理想低域通過フィルタに通す。信号周波数 $f_0$ は $0<f_0<f_B$ を満たし、信号はこのフィルタで減衰しない。

フィルタ出力での信号対雑音比（信号電力と量子化雑音電力の比）を $\text{SNR}$ とし、そのデシベル値を $10{\log }_{10}\text{SNR}$ と定義する。フィルタ出力での SNR が $96\text{dB}$ 以上となるような最小の正の整数 $B$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

帯域 $0\sim 4\text{kHz}$ の音声信号を、オーバーサンプリングを用いた A/D 変換器でディジタル化する。条件は次のとおりである。

• A/D 変換器は $N$ ビット（$N$ は正の整数）の一様量子化器で、入力範囲は $-V\sim V$、量子化ステップは $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ である。量子化誤差は信号と無相関で $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、その電力 $\frac{{\Delta }^2}{12}$ は $0\sim \frac{f_s}{2}$ の周波数範囲に一様に（白色に）分布するとする。標本化周波数は $f_s=256\text{kHz}$ である。
• 入力信号は振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波（周波数は $4\text{kHz}$ 未満）で、過負荷は起こらない。
• A/D 変換器の入力には、信号と無相関なアナログの白色雑音も含まれている。この雑音の電力は $0\sim 128\text{kHz}$ に一様に分布しており、この全帯域で測った信号対雑音比（量子化雑音を含まない）は $70\text{dB}$ である。
• A/D 変換後、遮断周波数 $4\text{kHz}$ の理想ディジタル低域通過フィルタ（通過域の利得 $1$）で $4\text{kHz}$ を超える成分をすべて取り除く。アナログ雑音と量子化雑音は互いに無相関とする。

フィルタ出力での信号対雑音比（アナログ雑音と量子化雑音の両方を含む）を $80\text{dB}$ 以上にするために必要な最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いてよい。

送信機が、振幅 $1\text{V}$ の正弦波電圧を $50\Omega$ の整合した伝送線路（同軸ケーブル）に送り出す。送信電力は、この正弦波電圧が $50\Omega$ の抵抗で消費する平均電力に等しいとする。ケーブルの減衰量は $0.5\text{dB/km}$ で、長さ $L$（単位は km）に比例し、ケーブル以外での損失はないものとする。

受信端では、受信信号に平均電力 $-90\text{dBm}$ の雑音が加わる（$0\text{dBm}$ は $1\text{mW}$ とする）。受信機は、同じ信号が繰り返し $M=1000$ 回送られてくるのを利用して、受信波形を時刻をそろえて $M$ 回分平均（同期加算平均）する。各回の雑音は平均 $0$ で互いに無相関であり、信号は各回でまったく同じであるとする。

平均したあとの信号対雑音電力比（SNR）が $40\text{dB}$ 以上となるようなケーブルの長さ $L$ の最大値を求めよ（単位は km）。

標本化周波数 $f_s=6000\text{Hz}$ で動作する因果的な離散時間フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=-\frac{4}{9}y[n-2]+K(x[n]+x[n-2])$$
で表される（$n$ は整数、$K$ は正の実定数、初期状態は $0$ とする）。このフィルタの伝達関数を $H(z)$、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega =2\pi f/f_s$ は正規化角周波数、$f$ は入力の周波数）とする。

直流（$f=0$）での振幅特性 $|H(e^{j0})|$ が $1$ になるように $K$ を定めたとき、周波数 $f=750\text{Hz}$ での振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を、根号を含む正確な値で求めよ。