信号処理・通信工学の問題

入力範囲が $-V$ から $V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（$N$ は正の整数）でアナログ信号を量子化する。量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ であり、量子化誤差は区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、信号と無相関であるとする。

この量子化器に、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波 $x(t)=\frac{V}{2}\sin (2\pi f_{0}t)$ を入力する（入力範囲を超えることはない）。正弦波の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とするとき、SQNR が $90\text{dB}$ 以上になるような最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$, ${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

入力範囲が $-V\le v\le V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（量子化レベルの数 $2^N$、量子化幅 $\Delta =\frac{2V}{2^N}$）で、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波信号を量子化する。$N$ は正の整数とする。

量子化誤差は $-\frac{\Delta }{2}$ から $\frac{\Delta }{2}$ の範囲に一様に分布し、信号と無相関であるとみなす（このとき量子化雑音の平均電力は $\frac{{\Delta }^2}{12}$ である）。信号の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とする。

SQNR が $70\text{dB}$ 以上になる最小の $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

アンテナで受けた信号を、次の 3 段をこの順に縦続接続した受信系で増幅する。各段の利得は電力利得、雑音指数は雑音係数（線形の比）で表す。

• 第 1 段（低雑音増幅器）: 利得 $20\text{dB}$、雑音係数 $F_1=2$
• 第 2 段（同軸ケーブル）: 損失 $10\text{dB}$（利得 $-10\text{dB}$）、雑音係数 $F_2=10$
• 第 3 段（主増幅器）: 雑音係数 $F_3=10$

第 3 段の利得は与えないが、最終段の利得は信号と雑音を同じ倍率で増幅するだけなので、出力端の SNR には影響しない。

受信系の入力端での信号対雑音比（SNR、電力比）は $30\text{dB}$ であり、入力端の雑音は標準温度 $T_0=290\text{K}$ の熱雑音である（各段の雑音係数はこの標準温度を基準に定義されている）。各段は整合しており、帯域幅はすべて等しいとする。

受信系の出力端での SNR は何 dB か。有効数字 3 桁で求めよ。

正弦波信号 $x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t)$ を、$B$ ビットの一様量子化器をもつ A/D 変換器で標本化・量子化する。量子化器の入力範囲は $-V\le x\le V$（$V>0$）で、量子化レベル数は $2^B$、量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^B}$ である。信号の振幅は $A=\frac{V}{2}$ であり、量子化器が飽和することはない。

標本化周波数は $f_s=2.56\text{MHz}$ である。量子化誤差は次の性質をもつとする。
- 区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ 上の一様分布に従い、信号とは無相関である。
- その電力は周波数帯域 $-\frac{f_s}{2}\le f\le \frac{f_s}{2}$ に一様に分布している（白色）。

量子化後のディジタル信号を、通過帯域 $|f|\le f_B$（$f_B=20\text{kHz}$）の理想低域通過フィルタに通す。信号周波数 $f_0$ は $0<f_0<f_B$ を満たし、信号はこのフィルタで減衰しない。

フィルタ出力での信号対雑音比（信号電力と量子化雑音電力の比）を $\text{SNR}$ とし、そのデシベル値を $10{\log }_{10}\text{SNR}$ と定義する。フィルタ出力での SNR が $96\text{dB}$ 以上となるような最小の正の整数 $B$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

搬送波周波数 $f_c=1\text{MHz}$ の振幅変調（DSB-LC、通常の AM）波
$$s(t)=A\left[1+m_1\cos (2\pi f_{1}t)+m_2\cos (2\pi f_{2}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
を考える。ここで $A=100\text{V}$、$m_1=0.3$、$m_2=0.4$、$f_1=1\text{kHz}$、$f_2=3\text{kHz}$ であり、$t$ は時刻（単位は s）である。この電圧 $s(t)$ を $R=50\Omega$ の抵抗に加えたとき、抵抗で消費される平均電力（単位は W）を分数または小数の正確な値で求めよ。平均は十分長い時間についてとるものとする。