信号処理・通信工学の問題

AM 送信機の出力電圧が
$$v(t)=A\left[1+m\cos (2\pi f_{m}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
で表され、$A=100\text{V}$、変調度 $m=0.6$、信号周波数 $f_m=5\text{kHz}$、搬送波周波数 $f_c=1\text{MHz}$ である。この電圧を $R=50\Omega$ の抵抗負荷に加えたとき、負荷で消費される平均電力 [W] を求めよ。ただし時刻 $t$ の単位は s で、平均は十分に長い時間についてとる。

ある AM 送信機は、正弦波 1 つで変調した通常の振幅変調（DSB-LC）波
$$s(t)=A\left[1+m\cos (2\pi f_{m}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
を、抵抗値が一定の純抵抗の負荷（アンテナを抵抗とみなしたもの）に送り出す。ここで $t$ は時刻、$A>0$ は搬送波の振幅、$f_c$ は搬送波周波数、$f_m$ は変調信号の周波数で $0<f_m\ll f_c$、$m$ は変調指数で $0<m\le 1$ とする。

変調をかけない（$m=0$ の）とき、負荷に供給される平均電力は $400\text{W}$ であった。搬送波の振幅 $A$ を変えずに変調をかけたところ、負荷に供給される平均電力は $472\text{W}$ になった。変調指数 $m$ を既約分数で求めよ。

周波数感度 $k_f$（単位は Hz/V）が未知の周波数変調（FM）器がある。この FM 器は、変調信号 $m(t)$（単位は V）に対して
$$s(t)=A\cos \left(2\pi f_{c}t+2\pi k_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right)$$
を出力する。ここで $A=10\text{V}$、$f_c=10.7\text{MHz}$ であり、$t$ は時刻（単位は s）である。

測定 変調信号を $m(t)=a\cos (2\pi \cdot 2000t)$ とし、振幅 $a$ を $0$ から少しずつ大きくしていったところ、$a=0.962\text{V}$ のときにはじめて $s(t)$ のスペクトルから周波数 $f_c$ の搬送波成分が消えた。

使用 次に、同じ FM 器に変調信号 $m(t)=0.6\cos (2\pi \cdot 1500t)$ を加え、出力 $s(t)$ を $1\Omega$ の抵抗に加える前に、通過域 $f_c-3.5\text{kHz}<f<f_c+3.5\text{kHz}$ で利得 $1$、それ以外の周波数で利得 $0$ の理想帯域通過フィルタに通した。抵抗で消費される平均電力（単位は W）を有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、変調指数 $\beta$ の正弦波 FM 波は $s(t)=A{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(\beta )\cos \{2\pi (f_c+n{f}_m)t\}$（$f_m$ は変調信号の周波数、$J_n$ は第 1 種ベッセル関数で $J_{-n}(\beta )=(-1{)}^n{J}_n(\beta )$）と展開できることを用いてよい。$J_0(\beta )=0$ となる最小の正の $\beta$ は $2.405$ であり、$J_0(2)=0.2239$、$J_1(2)=0.5767$、$J_2(2)=0.3528$、$J_3(2)=0.1289$ とする。

搬送波の振幅 $A=20\text{V}$、搬送波周波数 $f_c=10\text{MHz}$、周波数感度 $k_f=6\text{kHz/V}$ の周波数変調（FM）器に、変調信号
$$m(t)=0.5\cos (2\pi f_{m}t)\text{V},f_m=1.5\text{kHz}$$
を入力する。FM 波の瞬時周波数は $f_c+k_{f}m(t)$ であり、FM 波は
$$s(t)=A\cos \left(2\pi f_{c}t+\beta \sin (2\pi f_{m}t)\right)$$
と書ける（$\beta$ は変調指数）。この FM 波を $R=50\Omega$ の抵抗負荷に加える。

この FM 波を、カーソンの法則で見積もった帯域幅 $B$ をもち、通過帯域が $f_c-\frac{B}{2}\le f\le f_c+\frac{B}{2}$（両端を含む）である理想帯域通過フィルタに通す。フィルタを通過した成分が負荷で消費する平均電力は何 W か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、$s(t)=A{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(\beta )\cos \left(2\pi (f_c+n{f}_m)t\right)$（$J_n$ は第 1 種ベッセル関数、$J_{-n}(\beta )=(-1{)}^n{J}_n(\beta )$）を用いてよく、$\beta =2$ のときの値として
$$J_0(2)=0.2239,J_1(2)=0.5767,J_2(2)=0.3528,J_3(2)=0.1289$$
を用いよ。

インパルス応答が
$$h(t)=t{e}^{-t}u(t)$$
で与えられる連続時間の線形時不変系に、幅 $1$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力する。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、系は $t<0$ で静止している（出力は $0$）とする。

出力 $y(t)$ が最大値をとる時刻 $t$ を求めよ。